Определение стационарного случайного процесса.

 Эргодическое свойство стационарного случайного процесса

Рассмотрим общие характеристики и свойства стационарных случайных процессов. Очевидно, что у стационарного случайного процесса X(t) все ве­роятностные характеристики не должны зависеть от времени.

Рассмотрим одномерную плотность распределения  стационарного случайного процесса X(t): f ( x , t ) Для простоты будем считать, что сечение случайного про­цесса является непрерывной случайной величиной.Так как эта плотность не зависит от того, где взято сечение t, то имеет место равенство

(формула 4.1)

Зная одномерную плотность стационарного случайного процесса X(t), можно найти его математическое ожидание и дисперсию:

(формула 4.2)

(формула 4.3)

Вывод:

Таким образом, у стационарного случайного процесса X(t) математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, не зависящими от времени.

Рассмотрим п сечений стационарного случайного процесса X(t), взятых в моменты времени t ₁ , t ₂ ,… t_n представленных на рисунке  4.1.

Рисунок 4.1

При этом п-мерную плотность распределения случайного процесса X(t) можно записать в виде:

(формула 4.4)

Очевидно, что если случайный процессявляется стационарным, то эта п–мерная  плотность  распределения  не изменится при сдвиге всех аргументов времени на одинаковую величину ȑ

(формула 4.5)

 

Таким образом, приходим к следующему определению стационарного случайного процесса:

Определение 4.1

Стационарного Случайного Процесса:

Случайный процесс X(t) называется стационарным в узком смысле, если его n -мерная плотность распределения не изменяется при сдвиге всех его временных аргументов на одинаковую произвольную величину ȑ.

Таким образом, n -мерная плотность распределениястационарного случайного процессане зависит от того, в какие моменты времени t ₁ , t ₂ ,… t_nрассматриваются сечения этого процесса, а зависят лишь от сдвигов  между этими сечениями.

Рисунок 4.2

Следовательно, двумерная плотность распределениястационарного случайного процесса  будет зависеть не от аргументов t ₁ и t₂, а только от аргумента ȑ промежутка между сечениями.

Рисунок 4.3

Очевидно, что эта плотность распределенияне должна зависеть от того, каким образом занумеро­ваны сечения, другими словами, двумерная плотность распределениядолж­на зависеть лишь от разности между аргументами:

Обозначим

(формула 4.6)

Тогда

(формула 4.7)

Найдем корреляционную функцию стационарного случайного процесса

               

(формула 4.8)

 

Так как величина ȑ определяется равенством (4.6), то корреляционная функция стационарного случайного процесса обладает следую­щим свойством:

(формула 4.9)

Таким образом, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть четная функция сдвига ȑ между двумя сечениями этого процесса.

Определение 4.2

Стационарного Случайного Процесса:

(определение в широком смысле)

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожида­ние постоянно ( m_x=const ), а корреляционная функ­ция есть функция сдвига между аргументами:

Очевидно, что если случайный процесс является стационарным в узком смысле, то он является стационарным и в широком смысле. Обратное же утверждение не всегда быть справедливым: если случайный процесс является стационарным в широком смысле, то он не обязательно будет стацио­нарным в узком смысле.

Обозначим W _Ш -множество всех стационарных в широком смыс­ле процессов и W у -множество всех стационарных в узком смыс­ле процессов. Между этими множе­ствами существуют следующие соотношения, которые про­иллюстрированы на рисунке 4.4.

 

Рисунок 4.4

 

Так как дисперсия равна корреляционной функ­ции при равенстве аргументов: D_x ( t ) = K_x ( t , t ) то имеет место равенство

(формула 4.10)

Так как  то и

(формула 4.11)

Кроме свойств (4.9)- (4.11) корреляционная  функция стационарного случайного процесса  должна обладать еще следующим  свойством

(формула 4. 1 2)

и свойством положительной определенности

(формула 4.13)

условия выполнения которого будут даны несколько позднее.

В выражении (4.13)  φ( t ) любая функция аргу­мента t, а область В-любая область изменения ар­гумента t.

Помимо корреляционной функции вводится в рас­смотрение еще одна характеристика: нормированная корреляционная функция (н. к. ф.) стационарного случайного  процесса

(формула 4.14)

Она обладает практически теми же свойствами, что и корреляционная функция, у которой изменен ма­сштаб по оси ординат. Запишем эти свойства:

(формула 4.15)

Стационарные случайные  процессы могут обладать или не обла­дать эргодическим свойством. Если процесс протекает однородно и множество состояний конечно и обладает эргодиче­ским свойством, то в нем устанавливается стацио­нарный режим функционирования, характеризующий­ся тем, что любая реализация этого процесса рано или поздно пройдет через любое состояние незави­симо от того, в каком состоянии находился этот процесс в начальный момент времени.

Эргодическое свойство состоит в том, что любая реализация эргодического стационарного случайного процесса, доста­точной продолжительности является как бы «полно­мочным представителем» всей совокупности реали­заций стационарного случайного процесса.

Для эргодического стационарного случайного процесса X ( t ) математическое ожидание  может быть определено из выражения

(формула 4.16)

Достаточным условием выполнения равенства (4.16)  эргодичности стационарного случайного процесса X( t ) по математическому ожиданию является

(формула 4.17)

Дисперсия эргодического случайного процесса X(t) может быть найдена по формуле

(формула 4.18)

Достаточным условием выполнения равенства (4.18) – условия эргодичности стационарного случайного процесса X( t )  по дисперсии является

(формула 4.19)

Где  корреляционная функция стационарного случайного процесса

(формула 4.20)

Корреляционная функция эргодического стационарного случайного процесса X(t) может быть найдена по формуле

(формула 4.21)

Достаточным условием выполнения  равенства (4.21) условия  эргодичности стационарного случайного процесса X(t)  по корреляционной функции является

Где  корреляционная функция стационарного случайного процесса 

(формула 4.23)