Так как управляющий сигнал и начальные условия обычно не коррелированы.

Уравнения (5.74) упрощаются для

(формула 5.77)

 

То есть  когда управляющий сигнал есть вектор-функция, компоненты которой представ­ляют собой белые шумы. Если связь между компонентами также «белая», тогда

(формула 5.78)

где

- диагональная m-матрица, составленная из смещенных дельта-функций

- матрица интенсивности векторного белого шума N ( t ).

Ес­ли компоненты  взаимно независимы, то матрица S ( t ) будет диагональной матрицей.

С учетом формул (5.77), (5.78) выражение (5.76) приводится к виду

Множитель 1/2 учитывает тот факт, что момент приложения дельта-функции сов­падает с верхним пределом интегрирования. Имея  ввиду также, что  получим что

аналогично нетрудно показать, что

и уравнение (5.74) принимает вид

(формула 5.79)

Матричному уравнению (5.79) - дисперсионному уравнению - эквивалентно n² скалярных уравнений, так как матрица  имеет размер n на n, но в силу ее симметричности

 

следовательно, уравнение (5.79) эквивалентно системе только

скалярных уравнений с таким же числом неизвестных.

Если сигнал небелый (цветной), то построим формирующий фильтр, гене­рирующий сигнал  из белого шума .

(формула 5.80)

Где F ( t ) известная матрица формирующего фильтра. Введя в рассмотрение расширенный вектор состояния

исходную систему (5.63) и формирующий фильтр (5.80) опишем в виде единой системы

(формула 5.81)

Здесь матрицы

На входе системы (5.81), имеющий описание, аналогичное описанию исходной системы, действует белый шум и, следовательно., методика составления дисперсион­ного уравнения (5.79) распространяется и на случай цветного воздействия. Правда, дисперсионное уравнение, записанное для вектора , помимо искомой инфор­мации о  несет не требующуюся в данном случае информацию о матрицах корреляционных моментов.

так как 

Это приводит к увеличению расчетной работы, так как если размер матрицы F ( t ) формирующего фильтра окажется r, то новому дисперсионному уравнению соответствует  скалярных уравнении, то есть. на  уравнении больше.

Рассмотрим вопрос вычисления матрицы корреляционных функций ЛНС. Сущест­вует  несколько примерно равноценных с ₍позиции объема вычислений способов оп­ределения матрицы . В качестве  примера рассмотрим один из них.

 

Формула (5.75) описывает реакцию в момент t физически реализуемой системы на начальные условия и сигнал, приложенный в момент t ₀ (здесь t ₀ < t); следовательно, должно быть Х(t) = 0, t₀<t.

Чтобы отразить этот факт, формулу (5.75) представим как

здесь  диагональная n-матрица, составленная из смещенных единичных функций

(формула 5.83)

Согласно определению (5.67) матрицы корреляционных функций, формуле (5.82) при , свойству линейности операции математического ожидания, при усло­вии (5.77) имеем

так как информация о поведении системы на интервале заключена в сигнале .

 

С учетом формулы (5.82),

так как входной сигнал и начальные условия обычно некоррелированы

С учетом условия (5.78),

так как дельта-функции, приложенные в момент , оказываются приложенными вне пределов интегрирования этого интеграла, поскольку  и  (рис. 5.30).

Тогда

(формула 5.84)

Если  то из формулы (5.82), при условии (5.77)

и аналогично предыдущему случаю получаем что

(формула 5.85)

Из физического смысла матриц  (формула (5.83)) видно, что для получения описания во всей области изменения аргументов достаточно сложить правые части выражений (5.84) и (5.85):

(формула 5.86)

Формула (5.86) при с учетом выражения (5.83) дает верный результат

 

Для вычисления матрицы корреляционных функций в соответствии с алгоритмом (5.86) нужно располагать дисперсионной матрицей

Согласно формулам (5.70), (5.73), определению понятия матрицы корреляцион­ных функций (5.65) и свойству линейности операции математического ожидания получаем что

(формула 5.87)

 

Анализ линейных стохастических

систем управления методом осреднения проекционных моделей

Исследование стохастических систем управления остается одним из основных направлений в статистической теории систем автоматического управления. При проектировании современных систем управления предъявляются высокие требования к их точности и надежности, поэтому важным является поиск новых методов исследования, позволяющих учесть дополнительные, в том числе случайные, факторы, влияющие на данные показатели.

Причиной возникновения случайных процессов в системах управления могут быть случайные изменения параметров самой системы и соответственно коэффициентов вдифференциальных уравнениях, описывающих ее математическую модель. В рассматриваемом случае мы имеем дело с классом стохастических систем — системами со случайными параметрами.

Анализ стохастических систем является достаточно сложной проблемой. Даже простая стохастическая система, описываемая линейным дифференциальным уравнением со случайными коэффициентами, является нелинейной по отношению к параметрическим (мультипликативным) шумам  Нелинейность такого рода во многом определяет специфические особенности поведения стохастических систем, такие, например, как обогащение спектров сигналов, изменение среднего значения выходного сигнала, которые присущи нелинейным системам. Математические модели стохастических систем описываются стохастическими дифференциальными уравнениями.

 Условимся называть стохастическими только дифференциальные уравнения со случайным дифференциальным оператором и, возможно, случайными начальными условиями.

Систематическое изложение современной теории стохастических дифференциальных систем можно найти в монографии В.С. Пугачева и И.Н. Синицына.

Наиболее общим подходом к анализу систем со случайными параметрами является получение уравнений, определяющих законы распределения вектора фазовых координат динамических систем. Этот подход основан на теории марковских случайных процессов и использовании уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК).

Применение такого подхода к исследованию систем управления со случайными параметрами описано в монографии Л.Г. Евланова и В.М. Константинова, где отмечается, что методы, построенные на основе этого подхода, практически пригодны только для решения сравнительно простых задач, поскольку решение уравнения ФПК для определения закона распределения фазовых координат систем большой размерности остается проблематичным.

 Однако, непосредственное применение теории марковских случайных процессов для анализа стохастических систем оказывается практически малоэффективным для сложных систем управления, а слишком общая теоретическая направленность большинства работ в этой области и абстрактная математическая форма изложения результатов затрудняют их использование.

Другим общим подходом является выполнение приближенного статистического анализа методом статистических испытаний. Этот подход применим для любых стохастических систем, в том числе содержащих нелинейности, но реализация метода встречает известные трудности при анализе математических моделей сложных систем управления. Например, для каждого опыта (испытания) необходимо сформировать реализации в общем случае нестационарных входных случайных процессов и всех случайных параметров системы в соответствии с определенными для реальных сигналов законами распределения. Число опытов должно быть достаточно большим, поскольку точность результатов, получаемых методом статистических испытаний, относительно медленно возрастает с увеличением числа опытов. Данный подход является вычислительным и не дает возможности определить явные зависимости между вероятностными характеристиками выходных сигналов системы и вероятностными характеристиками ее случайных параметров (что требуют задачи синтеза).

Упомянутые недостатки общих методов сделали актуальной проблему разработки методов анализа стохастических систем, ориентированных на решение практических задач исследования сложных технических систем.

Оказалось, что в ряде случаев можно упростить задачу статистического анализа за счет уменьшения полноты получаемых вероятностных характеристик, тем более что такое полное решение, как, например, определение многомерных законов распределения, для большинства прак­тическихзадач, в том числе задач анализа и синтеза систем управления, не требуется. Здесь обычно бывает достаточно ограничиться определением моментов фазовых ко­ординат системы и, в частности, первых двух моментов — математических ожиданий и корреляционных функций. Можно также использовать в качестве статистических мер кумулянты, обладающие, в отличие от моментов, свойством уменьшения значимости с увеличением порядка, что позволяет выполнять более точный анализ нели­нейных систем.