Статистический анализ линейных систем, основанный на описании в пространстве состояний

При описании ЛНС в пространстве состояний

(формула 5.63)

воздействия и сигналы представляют собой вектор- функции - векторы, координаты которых являются скалярными функциями. Пусть Y( t ) - случайная m-мерная вектор – функция

Ее полной статистической характеристикой является многомерный закон совместно­го распределения всех m случайных функций - компонентов этой случайной вектор - функции. Даже для вектор - функции невысокого порядка такой закон громоздок и сложен, поэтому ограничимся рассмотрением только средних значений случайных функций-компонентов

(формула 5.64)

и их авто - и взаимно корреляционных функций

(формула 5.65)

Если все эти корреляционные функции расположить в виде квадратной m -матрицы

(формула 5.66)

то с учетом выражения (5.65) легко заметить, что

(формула 5.67)

Матрица называется матрицей корреляционных функций случайной вектор - функции Y ( t .)

Если расположить средние значения случайных функций-компонентов случайной вектор-функции в виде вектора

то из выражения (5.64) видно, что

вектор называется средним значением вектор-функции Y ( t )

Матрица вида

называется матрицей корреляционных моментов вектор-функции так как компонентами этой матрицы, как это видно из соотношений представленных в формулах (5.65), (5.66), являются корреляционные моменты случайных величин, получающихся из случайных функций  при одном и том же фиксированном значении t их аргумента. По диагонали тогда располагаются дисперсии

случайных функций , поэтому матрицу P_YY ( t ) называют еще иногда дисперсион­ной матрицей.

Рассмотрим вопрос вычисления среднего значения состояния и выхода ЛНС. Вы­полнив над левой и правой частью выражений (5.63) операцию математического ожидания и учитывая, что операции математического ожидания и дифференцирова­ния коммутативны, получим

(формула 5.68)

Из сравнения уравнений (5.68) и (5.63) видно, что средние значения состояния и выхода определяются по средним значениям входа и начальных условий с помощью тех же алгоритмов, которые используются для определения самого состояния и вы­хода ЛНС по ее входу и начальным условиям.

Получим уравнение, определяющее дисперсионную матрицу ЛНС. Вычитая из уравнений (5.63) уравнения (5.68), имеем

(формула 5.69)

(формула 5.70)

согласно формулам (5.67) и (5.68) получим

Продифференцировав это выражение, с учетом коммутативности операций диффе­ренцирования и математического ожидания, имеем

(формула 5.71)

Транспонируем уравнения (5.69), (5.70):

(формула 5.72)

(формула 5.73)

Подставив теперь в формулу (5.71) выражение для и  из соотношений (5.69), (5.72), получим что

(формула 5.74)

Поскольку 

(формула 5.75)

где - матрица перехода ЛНС (5.63), то

(формула 5.76)