Возможность указанного упрощения послужила предпосылкой появления группы методов корреляционного анализа стохастических систем.

К методам корреляционного анализа относится метод, основанный на структурном представлении стохастической системы. Этот метод получил развитие в работах Е.А. Федосова и Г.Г. Себрякова Он основан на подходе, согласно которому система рассматривается как совокупность линейных операторов и пропорциональных звеньев, соединенных прямыми и обратными связями через элементы сравнения (сумматоры).

 Для стохастической системы пропорциональные звенья будут иметь случайные коэффициенты усиления, соответствующие случайным коэффициентам дифференциального уравнения математической модели системы. Такое структурное выделение случайных коэффициентов с последующим представлением каждого из них в виде элемента умножения на внешний случайный сигнал позволяет перейти к «непараметрическому» описанию стохастической системы в виде структурной схемы нелинейной системы со случайными возмущениями, прикладываемыми к ее нелинейным входам (входам элементов умножения). Корреляционный анализ этой преобразованной системы выполняется с принятием гипотезы о нормализации выходных сигналов элементов умножения инерционными линейными элементами. Конструктивность описанного подхода обусловлена тем, что обычно структурная схема хорошо согласуется с функциональной схемой системы управления, а ее отдельные звенья соответствуют тем или иным элементам реальной системы. Такая наглядность способствует использованию методов, основанных на структурном подходе, в инженерной практике.

 

С начала 70-х годов в теории автоматического управления начинают использоваться методы исследования систем, основанные на применении матричных операторов. Эти методы, известные как проекционные или спектральные, предполагают конечномерную аппроксимацию уравнения математической модели системы, описывая систему линейным матричным оператором, который представляет собой числовую матрицу, называемую проекционной или спектральной характеристикой системы. Первыми такой подход к описанию и исследованию систем управления со случайными параметрами предложили В.В. Солодовников и В.В. Семенов

Актуальной является разработка эффективных компьютерных методов анализа систем со случайными параметрами. Это объясняется, в частности, тем, что автоматизированное проектирование современных систем управления во многом опирается на использование оптимизационных процедур, требующих многократного решения задачи анализа. С другой стороны, повышенные требования к точности и надежности проектируемых систем приводят к необходимости учитывать большее число возмущающих факторов, в том числе возможность случайных изменений параметров системы, что ведет к принципиальному усложнению ее математической мо­дели и увеличению времени решения задачи анализа.

Ярко выраженная компьютерная ориентация проекционных методов стала предпосылкой разработки на их основе комбинированных методов анализа стохастических систем построенных с использованием уже ставших традиционными методов иподходов, сформировавшихся в этой области за последние десятилетия. К таким комбинированным методам корреляционного анализа стохастических систем относится метод, в основе  которого лежит использование осредненных проекционных моделей.

Аппроксимация математических моделей

Рассмотрим проекционную аппроксимацию математических моделей систем управления со случайными параметрами с использованием техники матричных операторов. В качестве исходного описания системы используется ее математическая модель в форме линейного дифференциального уравнения или системы линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Аппроксимированная модель строится в виде матрично-операторного уравнения, связывающего проекционные характеристики входного и выходного сигналов системы, представляющие собой дискретные разложения этих сигналов по ортогональному базису функций Уолша.

Матричный оператор системы со случайными параметрами представляет собой случайную матрицу, которую будем называть стохастическим матричным оператором. Введение понятия стохастического матричного оператора позволяет с единых позиций рассматривать задачи исследования детерминированных и стохастических систем.

Это означает, например, возможность использования для решения задач анализа, синтеза и идентификации систем управления, рассматриваемых в классе стохастиче­ских систем, методов и алгоритмов, разработанных для детерминированных систем.

Стохастический матричный оператор для системы со случайными параметрами может быть получен теми же методами, что и матричный оператор для детерминиро­ванной нестационарной системы.

Рассмотрим системы со случайными параметрами, описываемые математической моделью в форме линейного дифференциального уравнения n -го порядка со случайными коэффициентами

(формула 1.161)

или в форме системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка со случайными коэффициентами

(формула 1.162)

представляемой в векторно-матричной форме

Все коэффициенты a_t (t), bj (t) в (1.161) и a_ij (t), b_n (t) в (1.162) полагаем слу­чайными функциями времени. Начальные условия в (1.161) заданы вектором

в (1.162) — вектором

Для данных систем могут быть применены известные методы проекционной ап­проксимации нестационарных детерминированных систем, основанные на использо­вании матричных операторов.  В частности, для системы управления, описывае­мой уравнением (1.162), наиболее естественной является схема проекционной аппрок­симации с использованием матричных операторов интегрирования и умножения. Система управления, описываемая уравнением (1.161), может быть либо аппрокси­мирована с использованием матричных операторов дифференцирования и умноже­ния, либо дифференциальное уравнение n-го порядка сводится к системе из n диф­ференциальных уравнений первого порядка и применяется упомянутая выше аппрок­симация с использованием матричных операторов интегрирования и умножения.

Применяя соответствующие схемы проекционной аппроксимации, получим математическую модель системы со случайными параметрами в виде матрично­операторного уравнения, связывающего проекционные характеристики входного и выходного сигналов, которые представляют собой дискретные разложения этих сиг­налов по некоторому ортогональному базису.

Для систем управления, математическая модель которых описывается уравнением (1.161), матрично-операторное уравнение имеет вид

(формула 1.163)

где A — стохастический матричный оператор одномерной системы; C⁰ — случай­ный вектор-столбец, учитывающий начальное состояние системы.

 

 

Для систем управления, описываемых системой уравнений (1.162), матрично­операторное уравнение имеет вид

(формула 1.164)

где A_Н — стохастический матричный оператор системы размерности pn x pk; A^x — стохастический матричный оператор преобразования начального состояния сис­темы размерности pn x pn; p,n,k — размерности блочных матриц; p — число членов разложения по ортогональному базису.

Буквами C с соответствующими индексами в (1.163), (1.164) обозначены спек­тральные (проекционные) характеристики сигналов, представляющие собой вектор-столбцы коэффициентов разложения этих сигналов по ортогональному базису

где элементы системы ортонормирован- ных функций, в качестве которой будем использовать систему функций Уолша.

Стохастические матричные операторы в уравнениях (1.163), (1.164) преДставляют собой случайные числовые матрицы, выражения для которых определяются с использо­ванием матричных операторов интегрирования P^T и умножения U^f. В соответст­вии с этим стохастический матричный оператор в уравнении (1.163) определяется так:

(формула 1.165)

 

где

стохастические матричные операторы в уравнении (1.164) определяется выраже­ниями

(формула 1.166)

(формула 1.167)

где I_{(pnx pn)}— единичная матрица;

В указанные выражения входят следующие блочные матрицы: матрица элементами (блоками) которой являются матрицы операторов умножения  размерности p х p;

 

матрица элементами которой являются матрицы операторов умножения размерности p х р;

матрица ., элементами которой являются матрицы операторов интегрирования P^T размерности p х p, расположенные по ее главной диагонали, остальные элементы матрицы А_и — нулевые матрицы размерности p х p.

Непосредственное использование стохастических матричных операторов, пред­ставленных в форме (1.165)-(1.167), затруднено тем, что в выражения для них входят случайные обратные матрицы. Избежать проблем, связанных с необходимостью их дальнейшего осреднения, можно, если воспользоваться приемом, который состоит в разложении обратной матрицы в матричный ряд. Применим данный прием к выражению (1.165).

Представим матрицу в виде суммы известной неслучайной матрицы и случайной матрицы

(формула 1.168)

где

(формула 1.169)

(формула 1.170)

Такое представление случайной матрицы  соответствует представлению слу­чайных коэффициентов a_i (t) исходного дифференциального уравнения (1.161) в виде суммы неслучайных a_t (t) и случайных составляющих:

(формула 1.171)

При этом матрица  в (1.169) является неслучайной матрицей оператора умно­жения на функцию a_t (t), а матрица  в (1.170) случайной матрицей оператора умножения на функцию .

Тогда, учитывая (1.168), обратную матрицу  можно представить в виде

(формула 1. 172)

где

(формула 1. 173)

является неслучайной известной матрицей.

Разложим обратную матрицу в выражении (1.172) в матричный ряд, представляющий собой геометрическую прогрессию со знаменателем

(формула 1. 174)

Вид и сходимость этого ряда зависят от выбора матрицы A^X0. Сходимость здесь будем понимать в среднем квадратичном. С учетом (1.174) выражение (1.165) примет следующий вид:

(формула 1. 175)

Применяя аналогичный прием к выражениям (1.166) и (1.167), представим их в виде

(формула 1. 176)

(формула 1. 177)

 

 

Таким образом, получены выражения для стохастических матричных операто­ров (1.165)-(1.167) в форме (1.175)-(1.177), удобной для их дальнейшего осреднения. Рассмотрим частный случай систем со случайными параметрами, описываемых математической моделью в форме дифференциального уравнения n-го порядка

(формула 1. 178)

где все коэффициенты a_i, b_j являются случайными величинами, коррелированными между собой. Начальные условия предполагаются нулевыми.

Уравнение (1.178) можно рассматривать как модель системы, на вход которой по­ступает случайный процесс, представленный множеством реализаций, причем пара­метры системы для каждой реализации являются постоянными случайными величи­нами. Такая модель описывает, например, множество систем (серию изделий), пара­метры которых имеют случайный разброс в пределах технологических допусков, либо одну систему, параметры которой случайным образом медленно изменяются во времени, так что в пределах одной реализации входного сигнала их можно считать постоянными.

Стохастический матричный оператор для данной системы определяется выраже­нием (1.175). С учетом того что матричный оператор умножения на постоянную ве­личину a для используемого ортогонального базиса можно представить как

 

выражение (1.175) примет вид

(формула 1.179)

где  определяется выражением (1.173), в котором

(формула 1.180)

Модель системы с переменными случайными параметрами можно свести к модели с постоянными случайными параметрами, если воспользоваться каноническим разложением случайных функций. Рассмотрим систему, модель которой описывается линейным дифференциальным уравнением n -го порядка

(формула 1.181)

где все коэффициенты, а также входной сигнал Y (t) полагаются некоррелированны­ми нестационарными гауссовыми случайными процессами, для которых заданы математические ожидания m_ai (t), m_bj(t) автокорреляционные функции R_aiai ( t ₁ , t ₂ ), R_bjbj ( t ₁ , t ₂ ). Начальные условия будем полагать нулевыми.

Каноническое разложение случайных процессов a_i(t) и b_j(t) в (1.181) позволяет представить их в виде линейной комбинации некоррелированных случайных величин V_k^a_i и V_k^b_j, являющихся коэффициентами канонических разложений этих случайных процессов по системе неслучайных координатных функций и :

(формула 1.182)

где m_a (t) и m_b (t) — математические ожидания соответствующих случайных коэффициентов.

Выполним проекционную аппроксимацию модели (1.182) с использованием мат­ричных операторов интегрирования и умножения. Для этого разложим функции времени, входящие в уравнение (1.182), в ряды Фурье по заданной системе ортонормированных функций:

(формула 1.183)

Подставляя разложения (1.183) в уравнение (1.182) и учитывая свойство

где матричный оператор умножения, имеем что

В силу линейной независимости базисных функций последнее уравнение равно­сильно матричному уравнению относительно спектральных характеристик входа и выхода системы:

(формула 1.184)

вводя обозначения

(формула 1.185)

перепишем уравнение (1.184) в виде

(формула 1.186)

Матрично-операторное уравнение (1.186) представляет собой проекционнуюмо­дель системы, описываемой дифференциальным уравнением вида  (1.181). Учитывая обра­тимость матрицы при достаточно большом р, что следует из теорем о единственности решения уравнения (1.186), об условиях сходимости и вычисли­тельной устойчивости проекционных аппроксимаций систем, описываемых линейными операторными уравнениями 2-го рода, можно записать выражение, определяющее зависимость между спектральными характеристиками входа и выхода системы:

(формула 1.187)

где

(формула 1.188)

Случайная матрица A размером р х р, определяемая выражением (1.188), преД­ставляет собой спектральную характеристику системы со случайными парамет­рами, описываемой моделью (1.181), т.е. ее стохастический матричный оператор.

Для устранения проблемы его дальнейшего осреднения воспользуемся описанным ранее приемом разложения обратной матрицы в матричный ряд:

(формула 1.189)

где

(формула 1.190)

тогда выражение (1.188) примет вид

(формула 1.191)

Для вычисления матриц умножителей на функции и , обозначенных в (1.191) как и , необходимо сначала определить эти функции, вос­пользовавшись, например, следующим алгоритмом. Автокорреляционные функции и , заданные для каждого коэффициента исходного уравнения (1.181), раскладываются по ортонормированному базису , в результате чего получаются матрицы их спектральных характеристик и   . Затем для каждой из этих матриц с помощью алгоритма Холецкого вычисляется матрица U₀, удовлетворяющая следующему  условию

 

Наконец, для каждого коэффициента исходного уравнения строится система ко­ординатных функций его канонического разложения

 

Таким образом, использование канонических разложений переменных случайных коэффициентов в исходном дифференциальном уравнении (1.181) позволяет аппрок­симировать модель системы с переменными случайными параметрами проекцион­ной моделью системы с постоянными случайными параметрами, что значительно упрощает задачу ее анализа.