Метод «Движущаяся прямая».

Данный метод позволяет решать всевозможные задачи с параметрами, которые заданы в виде (или преобразованы к нему) f ( x ) = a . Метод основывается на том, что простейшее параметрическое уравнение y = a задает множество всех прямых параллельных оси абсцисс.

Построение данной графической модели предполагает умение строить графики функций. На подготовительном этапе обучения моделированию нужно актуализировать знания связанные с построением графиков функций и подвести к графической модели параметрического уравнения y = a. Реализовать данные задачи можно через систему упражнений, которая предполагает построение графиков функций и работу с ними. Работа с графиками подразумевает ответ на следующие вопросы: назовите множество значений функции; сколько раз и почему функция принимала значение В (под В подразумевается конкретное числовое значение причем его нужно варьировать, в том числе брать его не из множества значений функции); каким должно быть значение а, чтобы уравнение y = a задавало касательную к функции.

Этап обучения моделированию является обобщением первого этапа. Здесь нужно сформировать представление о зависимость между значением параметра и положением прямой y = a. На предыдущем этапе ученики отвечали на вопрос о том, сколько раз функция принимает конкретное значение, опираясь на это, нужно сформулировать общее правило ответа на этот вопрос, сопровождая его соответствующими иллюстрациями. Таким образом, возникает прямая, положение которой зависит от величины, не являющейся заранее определенной и, следовательно, уравнение y = a задает множество прямых.

Иногда учащиеся не понимают смысла параметров. Это связанно с его двойственностью: с одной стороны параметр обозначает конкретное число, с другой – параметр изменяет свои значения. Указанный выше подход опирается в начале на конкретные значения, затем изменению значений соответствует движение прямой, это помогает наглядно раскрыть смысл параметра.

При работе с моделями нужно подобрать задания, двигаясь при этом от простого к сложному. С предыдущих этапов ученики знают, как зависит положение движущейся прямой от значений параметра, умеют интерпретировать информацию, содержащуюся в модели. Им можно показать решение задачи с параметром и общий метод рассуждения для подобных заданий.

Найти число корней уравнения  в зависимости от параметра а.

Построим график функции  (предполагается, что ученики владеют приемами построения графиков подобных функций), и построим условно график уравнения y = a, причем для a < 0. Мы видим (рис. 8), что при этих значениях параметра а два графика не пересекаются. Двигая прямую вдоль оси ординат вверх параллельно самой себе, получим, что при a = 0 уравнение имеет два корня, при  уравнение имеет четыре корня, при a = 4 – три корня и при a > 4 – два корня.

Далее нужно рассказать об общем виде заданий с параметрами, для которых применим данный метод. Если уравнение имеет другой вид, то его нужно преобразовать (если это возможно). Далее следует привести систему заданий, в которой будет усложняться условия: требуется преобразовать выражение к нужному виду; усложняется функция, которую надо строить; выбираются из различных промежутков значения для х и т.д.