Определители квадратных матриц
Необходимость введения понятия определителя – некоторого числа, характеризующего любую квадратную матрицу A, тесно связана с задачей решения систем линейных уравнений (см. тему 2.2), а также с некоторыми другими приложениями матричной алгебры. Для обозначения определителя матрицы A наиболее часто используются следующие символы: |А|, ΔА, detA. Определение. Определителем первого порядка, или определителем квадратной матрицы первого порядка называется ее единственный элемент Определение. Определителем второго порядка, или определителем квадратной матрицы второго порядка, называется число, которое вычисляется по правилу: разность произведений элементов главной и побочной диагоналей: Определение. Определителем третьего порядка, или определителем квадратной матрицы третьего порядка, называется число, равное: Замечание. Эта формула может быть получена, например, по правилу Саррюсса, состоящему в следующем: приписать к определителю третьего порядка справа два первых его столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и параллельных ей диагоналей, из которых затем вычесть сумму произведений элементов побочной и двух параллельных ей диагоналей. Таким образом, вычисления надо проводить по схеме:
Определители более высоких порядков (т.е. при n > 3) вычисляются другими способами, основанными на ряде новых понятий таких, как минор элемента матрицыи алгебраическое дополнение элемента матрицы. Определение. Минором М ij элемента aij квадратной матрицы A n-го порядка называется определитель матрицы на единицу меньшего порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Например, минором элемента квадратной матрицы: будет число, равное: Определение. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij квадратной матрицы A порядка n называется его минор, взятый со знаком , т.е.:
Например, алгебраическое дополнение того же элемента, что и в предыдущем примере, будет равно:
Для установления алгоритма вычисления определителей любого порядка сформулируем следующую теорему. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Практическое значение теоремы Лапласа состоит в том, что она позволяет свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению n более “простых” определителей (n – 1)-го порядка. Последовательно применяя такое разложение, в конце концов приходят к конечной сумме, состоящей из чисел, умноженных на определители второго порядка, вычисление которых не вызывает трудностей. ПРИМЕР: Вычислить определитель матрицы
Согласно теореме Лапласа, для первой строки матрицы можно записать: Поскольку элемент , найдем алгебраические дополнения:
Таким образом,
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (185)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |