Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве
Полагая, что понятия плоскости и трехмерного пространства известны читателю из школьного курса геометрии, обобщим, а в некоторых случаях уточним, начальные сведения о векторах. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой A и конечной точкой B, который можно перемещать параллельно самому себе. Обозначение: или . Длиной (модулем, нормой) вектора называется число, равное длине отрезка AB, изображающего вектор. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, и компланарными, если их количество равно трем и они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если точки начала и конца вектора совпадают, например, то такой вектор называется нулевым вектором и обозначается: . Длина нулевого вектора равна нулю, т.е. . Поскольку направление нулевого вектора не определено, то его считают коллинеарным любому вектору. Произведением вектора на число λ называется вектор: имеющий длину и направление, совпадающее с направлением вектора если λ > 0, и противоположное ему, если λ < 0. Противоположным вектором вектору называется произведение этого вектора на число (− 1), т.е. .
Перенесем вектор параллельно самому себе таким образом, чтобы его начальная точка совпала с началом координат. Тогда можно ввести понятие координат вектора. Координатами вектора называются координаты его конечной точки, если его начальная точка помещена в начало координат. При этом координатами вектора на плоскости являются числа , где M(x, y), а в трехмерном пространстве – соответственно – числа , где M(x , y , z).
В соответствии с приведенными определениями не трудно показать, что суммой векторов и будет вектор с координатами: , произведением вектора на число l будет вектор с координатами: . Из тех же определений следует, что длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат: или . соответственно, на плоскости и в трехмерном пространстве.
Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними, т.е.: . Скалярное произведение векторов можно выразить и через координаты этих векторов: или . соответственно, на плоскости и в трехмерном пространстве. Если , то очевидно угол между векторами и будет равен нулю, следовательно: , т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Очевидно, что косинус угла между векторами будет определяться выражением:
3.2. N -мерный вектор и векторное пространство Определение. N -мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел: а каждое число х i называется i-ой компонентой (координатой) вектора.
По аналогии с векторами на плоскости (двухмерными векторами) и в трехмерном пространстве (трехмерными векторами) можно сформулировать следующие правила, которые следует рассматривать как аксиомы.
Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. , если для всех . Суммой двух n-мерных векторов называется n-мерный вектор, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. если то для всех . Произведением n -мерного вектора на действительное число называется n-мерный вектор, компоненты которого равны произведению этого числа на соответствующие компоненты этого вектора, т.е. если , то для всех .
Операции над векторами, установленные этими правилами, принято называть линейными операциями. Линейные операции над векторами должны удовлетворять целому ряду свойств, рассматриваемых как аксиомы.
- коммутативное свойство суммы. - ассоциативное свойство суммы. - ассоциативное свойство относительно числового множителя. - дистрибутивное свойство относительно суммы векторов. - дистрибутивное свойство относительно суммы числовых множителей. Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора , в этом – особая роль нулевого вектора. Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что . Для любого вектора справедливо , в этом – особая роль числового множителя 1.
Определение. Векторным (линейным) пространством называется множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным восьми аксиомам,
ПРИМЕР: Для заданной матрицы А размера m x n строки этой матрицы можно рассматривать как множество n-мерных векторов.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (201)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |