Квадратичные формы и их свойства

Квадратичной формой  от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами:

Коэффициенты квадратичной формы  являются любыми действи­тель­ными числами, причем . Матрица А, составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. Матрица А всегда имеет симметричный относительно главной диагонали вид и поэтому часто называется симметрической.

ПРИМЕР: Найдите матрицу квадратичной формы, записанной в виде: .

Поскольку искомая матрица должна быть симметрической, то она должна содержать в качестве элементов главной диагонали коэффициенты при квадратах переменных, а в качестве остальных элементов – половины коэффициентов при произведениях переменных. Поэтому перепишем квадратичную форму в виде:

Расставив коэффициенты в круглых скобках в соответствующие строки матрицы, получим матрицу заданной квадратичной формы в виде:

Если ввести в рассмотрение две матрицы: Х^Т – матрицу-строку переменных и Х – матрицу-столбец переменных, то любую квадратичную форму можно записать в матричном виде:

Можно показать, что при невырожденном линейном преобразовании переменных , т.е. при переходе от переменных x_i к переменным y_i , матрица квадратичной формы изменится и примет вид: .

При некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях переменных вид квадратичной формы можно существенно упростить, приведя матрицу этой формы к диагональному виду.

Квадратичная форма L называется канонической, или имеющей канонический вид, если ее матрица является диагональной, т.е.

.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду используются разнообразные методы, среди которых наиболее часто применяется метод выделения полных квадратов. Покажем работу этого метода на конкретном примере.

ПРИМЕР: Привести к каноническому виду квадратичную форму, имеющую вид:

Выделим полный квадрат при переменной , т.е. перепишем заданную квадратичную форму в виде:

Таким образом, невырожденное линейное преобразование переменных:  позволило привести данную квадратичную форму к каноническому виду: .

Полученные различными методами канонические виды одной и той же квадратичной формы в самом общем случае различаются значениями коэффициентов при новых переменных. Однако эти канонические виды обладают важным свойством: