Евклидово пространство
Выше мы ввели понятие линейного векторного пространства, в котором определены операции сложения векторов и умножения их на число, а также ввели понятия размерности и базиса этого пространства. Теперь дополним это пространство метрикой, т.е. укажем способы измерения длин векторов и углов между ними. Это можно сделать, доопределив в векторном пространстве понятие скалярного произведения векторов, естественно, обобщив его на случай n-мерных векторов.
Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное: Отметим основные свойства скалярного произведения, которые непосредственно вытекают из сформулированного определения.
- коммутативное свойство; - дистрибутивное свойство; - свойство справедливое для любого действительного α; , если , и , если .
Определение. Линейное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам, рассматриваемым как аксиомы, называется евклидовым пространством.
Определение. Длиной или нормой вектора в n-мерном евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата, т.е.: Определенная таким образом норма вектора обладает некоторыми свойствами, основное из которых записывается в виде: и носит название неравенства Коши-Буняковского. Очевидно, что косинус угла j между двумя векторами и можно определить равенством, непосредственно вытекающим из неравенства Коши-Буняковского:
, где:
Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Определение. Векторы n-мерного евклидова пространства Rn образуют ортонормированный базис, если они попарно ортогональны, и норма каждого из них равна единице.
Существует теорема, устанавливающая одно из основных свойств евклидова пространства.
Примером одного из таких ортонормированных базисов является система из n единичных векторов, у которых i-ая компонента равна 1, а все остальные компоненты равны нулю, т.е. базис из векторов: и т.д.
Линейные операторы Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства Rn ставится в соответствие единственный вектор этого же пространства, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) и записывают . Оператор называется линейным, если для любых векторов и пространства Rn и любого действительного числа λ выполняются соотношения:
- свойство аддитивности оператора; - свойство однородности оператора.
Опираясь на свойства линейности оператора, можно показать, что его воздействие на вектор состоит в том, что матрица-столбец координат этого вектора (в некотором базисе) умножается слева на квадратную матрицу А оператора и в результате получается матрица-столбец координат вектора (в том же базисе), т.е. Y = AX. Другими словами, каждому линейному оператору можно поставить в соответствие единственную квадратную матрицу этого оператора. При переходе к другому базису в пространстве Rn матрица линейного оператора изменится. Можно показать, что матрицы А* и А линейного оператора в новом базисе и в старом базисе , соответственно, связаны соотношением: , где С – матрица перехода от старого базиса к новому (см. подраздел 3.4).
Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора (или линейного преобразования, заданного матрицей А), если существует такое число λ, что справедливо равенство: . При этом число λ называется собственным значением оператора (или матрицы А), соответствующим собственному вектору .
Из приведенного определения следует, что собственный вектор под воздействием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. просто умножается на число – собственное значение, ему соответствующее.
Характеристическим уравнением матрицы А линейного оператора называется уравнение:
где λ – неизвестное собственное значение, Е – единичная матрица.
ПРИМЕР: Для матрицы характеристическое уравнение будет иметь вид:
Таким образом, задача отыскания собственных векторов и собственных значений линейного оператора решается в следующей последовательности. Вначале составляют и решают характеристическое уравнение. Его решениями будут собственные значения, причем их количество не превосходит n. После этого, подставляя последовательно каждое из найденных собственных значений в систему однородных уравнений вида: каждый раз решают ее методом Гаусса и выясняют структуру нетривиальных решений – координат собственного вектора, соответствующего данному собственному значению.
ПРИМЕР: Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей: Составим характеристическое уравнение для отыскания собственных значений: Решениями этого уравнения будут два собственных значения преобразования А: λ1 = 2 и λ2 = − 1. Приступим к отысканию собственного вектора, соответствующего первому из собственных значений. Для этого запишем систему однородных уравнений: Полученная система фактически представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными. Положим и найдем . Таким образом, собственный вектор, соответствующий первому из собственных значений, будет иметь следующие координаты: , где С1 – любое действительное число, отличное от нуля. Для второго собственного значения система однородных уравнений запишется в виде: Т.е. представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными. Полагая , найдем , и окончательно запишем: , где С2 – любое действительное число, отличное от нуля.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (228)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |