Основные свойства определителей

1. При однократной перестановке двух строк (или столбцов) опреде­литель меняет свой знак.

2. Умножение всех элементов какой-либо строки (или столбца) опре­делителя на одно и то же число равносильно умножению всего оп­ределителя на это же число.

3. Если некоторая строка (или столбец) определителя целиком состоит из нулей, то этот определитель равен нулю.

4. Если элементы какой-либо строки (или столбца) определителя про­порциональны (в частном случае равны) соответствующим элемен­там другой строки (или столбца), то этот определитель равен нулю.

5. При транспонировании матрицы ее определитель не меняет своего значения, т.е. |А^Т| = |А|.

6. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой множитель.

7. Определители верхней треугольной, нижней треугольной и диаго­нальной матриц равны произведению элементов их главной диаго­нали.

8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произ­ведению их определителей: |АВ| = |А|∙|В|, откуда следует: |АВ| = |ВА|.

Обратная матрица и обращение матриц

Определение. Матрица А^-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если выполняется равенство:

Определение. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной. Если же определитель матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной.

Алгоритм обращения матрицы

1. Вычислить определитель матрицы А. При этом обратная матрица будет существовать, только в случае |А| ≠ 0.

2. Транспонировать матрицу А, т.е. найти матрицу А^Т.

3. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы А^Т и, расставив их на места соответствующих элементов, получить присоединенную к А матрицу .

4. Найти матрицу обратную матрице А по формуле:

5. Проверить правильность вычислений, убедившись в справедли­вости любого из равенств

ПРИМЕР: Найти матрицу, обратную матрице

1. Находим |А| = 10 ≠ 0, следовательно, матрица, обратная к матрице А существует.

2. Транспонируем матрицу А и найдем:

3. Последовательно найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А^Т и, расставив их на места элементов в матрице А^Т, получим присоединенную к матрице А матрицу в виде:

4. Находим искомую матрицу:

5. Проверка показывает, что вычисления проведены правильно: