Закон инерции квадратичных форм
ПРИМЕР: Квадратичная форма: двумя различными способами приведена к следующим каноническим видам:
Сравнение этих канонических видов одной и той же квадратичной формы показывает, что в обоих видах число положительных слагаемых равно 2, а отрицательных – 1.
Квадратичная форма L называется положительно (отрицательно) определенной, если при любых значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, выполняется неравенство L > 0 (L < 0).
Существуют различные критерии для установления знаковой определенности квадратичных форм. Приведем два из них как наиболее употребительные.
Критерий Сильвестра
В критерии Сильвестра под главными минорами матрицы понимают миноры i – го порядка, построенные следующим образом:
ПРИМЕР: Покажите положительную определенность квадратичной формы: . Найдем вначале матрицу этой формы. Поскольку эту форму можно переписать в виде: , искомая матрица имеет вид: Характеристическое уравнение для этой матрицы будет иметь вид:
, или: . Решая его, найдем: , следовательно, на основании первого критерия можно заключить, что данная квадратичная форма является положительно определенной.
Теперь найдем главные миноры матрицы А:
. Поскольку оба полученных минора положительны, на основании критерия Сильвестра заключаем, что данная квадратичная форма является положительно определенной.
Рекомендуемая литература по Теме 3: [1 ÷ 3]. ВОПРОСЫ для самопроверке знаний по теме 3: При каком значении с векторы и будут перпендикулярны?
Сколько векторов будет содержать базис пространства ?
Можно ли образовать ортонормированный базис из двух векторов: ?
В какие векторы преобразует векторы (1, 0) и (0, 1) линейный оператор, заданный матрицей ?
Является ли число 1 собственным значением матрицы ?
Будет ли положительно определенной квадратичная форма ?
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (185)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |