Теоретические предпосылки к работе

К основным параметрам, характеризующим механические свойства твердых материалов, относятся модуль Юнга и модуль сдвига, связывающие величины продольных и сдвиговых напряжений с величинами продольных и соответственно сдвиговых деформаций в условиях одноосного нагружения материала. Для нахождения упругих модулей таких материалов, как горные породы, металлы, дерево, оргстекло и т.д. может быть применен резонансный метод, при применении которого в данной работе используют продольные колебания стержней, выполненных из исследуемого материала.

Так, если в стержне из упругого материала возбуждать продольные колебания, то они будут распространяться вдоль стержня в виде плоских волн с так называемой стержневой скоростью С _СТ :

                                                                               (2.1)

где Е - модуль Юнга материала стержня, Н/м²;

    r - плотность материала стержня, кг/м³.

В связи с тем, что стержень представляет собой ограниченное тело, в нем возможно возникновение явления резонанса и образование стоячих волн. Стоячие волны образуются в результате сложения двух одинаковых, но бегущих в противоположных направлениях гармонических волн и записываются следующим образом:     

,                    (2.2)

где x - смещение сечения стержня относительно равновесного состояния;    k= w/С_СТ  - волновое число.

Стоячая волна характеризуется особыми точками (сечениями), амплитуда в которых максимальна (пучности) и минимальна (узлы). Характер распределения амплитуды смещения в стоячей волне вдоль стержня зависит от граничных условий на концах стержня и в местах жесткого закрепления какого-либо сечения стержня, где будут наблюдаться узлы. На свободных концах стержня будут возникать пучности. В остальных местах стержня амплитуда будет зависеть от вида граничных условий, от длины стержня l и от частоты колебаний стержня f.

    В случае, если оба конца стержня свободны или закреплены, то первый резонанс или основная мода возникают при условии l= l/2. При увеличении частоты возбуждения будут возникать новые резонансы на частотах, кратных частоте основной моды.

    При закреплении стержня в центре резонанс наблюдается при условии, что по длине стержня укладывается нечетное число полуволн (рис. 2.1):

                                     ,                                          (2.3)

где l - длина стержня;

    l= C_СТ /f - длина волны в стержне;

    n - номер гармоники, n=1,3,5,7    

   Определяя экспериментально величину резонансных частот f _n, можно рассчитать скорость C_СТ  упругих волн в стержне на основании формулы (2.3) и при известном значении плотности материала стержня может быть определен модуль Юнга:

                               Е= r С²_СТ= r .                        (2.4)

Рис.2.1. Зависимость амплитуды смещения частиц от х

   При заданной величине коэффициента Пуассона  модуль сдвига материала стержня равен

                                         .                               (2.5)

    Резонансный метод позволяет определять также величины, характеризующие потери в материале или в горных породах. Для этого измеряется ширина резонансной кривой  (рис. 2.2.) на уровне 0,707, от амплитуды на резонансе А_Р путем определения значений частот  и  и резонансной частоты . На основании полученных величин можно рассчитать основные характеристики потерь в материале стержня:

-   логарифмический декремент затухания

,                                   (2.6)

где  - частота собственных колебаний образца породы, ;

      и  - частоты колебаний, соответствующие амплитудам 0,7  до и после резонанса, ;

-   временной коэффициент затухания

;                                    (2.7)

-   добротность резонансной системы

Q = ;                                       (2.8)

-   коэффициент потерь

                                         .                                       (2.9)

                                                   Рис. 2.2.

    Рис. 2.3.Блок- схема экспериментальной установки

Описание установки

   Схема установки для выполнения работы приведена на рис. 2.3. Стержень из исследуемого материала (металла и мрамора) в вертикальном положении закрепляется в центре с помощью зажимного приспособления. Возбуждение торца осуществляется с помощью электромагнитного преобразователя 1. Если приблизить преобразователь к торцу стержня, оставив небольшой зазор между электромагнитами преобразователя и стержнем, и подать на катушки преобразователя переменное напряжение со звукового генератора, то на торец стержня будет действовать периодическая растягивающая и сжимающая сила с частотой, равной частоте генератора, возбуждающая в стержне плоские продольные волны. У нижнего торца стержня помещается такой же преобразователь (приемник) 2. Зазор между преобразователями и торцом стержня должен быть по возможности минимальным. При этом соприкосновение преобразователей с торцами стержня не допускается. Если стержень изготовлен из немагнитного материала, то для возбуждения и приема колебаний к его торцам приклеиваются пластинки из магнитного материала. Электрическое напряжение, снимаемое с электромагнитного приемника и пропорциональное амплитуде смещения торца стержня, поступает на вход осциллографа и одновременно на вход частотомера.

   Плавно изменяя частоту выходного напряжения звукового генератора, можно добиться возникновения в стержне основного резонанса, о наступлении которого судят по резкому увеличению амплитуды колебаний на экране осциллографа и по характерному звучанию стержня. Увеличивая в определенное число раз частоту, можно получить последующие резонансы стержня.