Теоретические предпосылки к работе

Как указано в лабораторной работе № 2, для определения упругих характеристик может быть использован резонансный метод. В данной работе эти характеристики определяются путем возбуждения изгибных колебаний в тонкой упругой пластине.

При возбуждении в тонкой упругой пластине вынужденных изгибных колебаний на различных частотах внешней силы в ней, так же, как и в стержне, возможно возникновение резонансов на собственных частотах изгибных мод (гармоник) пластины.

Однако в отличие от стержня, который представляет собой одномерную колебательную систему с распределенными параметрами, пластина является двухмерным колебательным объектом. Вследствие этого собственные частоты пластины определяются не одним индексом (номером моды), как в стержне , а двумя индексами  и , связанными с одной и второй сторонами прямоугольной пластины.

На резонансах в пластине наблюдается, так же как и в стержне, возникновение стоячих волн. Однако, по причине возникновения стоячих волн в двух противоположных направлениях, картина узлов и пучностей на поверхности пластины может быть весьма сложной и состоять из узловых линий различной формы. Количественные измерения собственных частот колебаний пластины  и условия возникновения стоячих мод номеров  и  зависят от формы пластины, ее размеров и от граничных условий на четырех сторонах прямоугольной пластины.

Упругие пластины относятся к двухмерным колебательным объектам с распределенными параметрами. Их толщина  значительно меньше горизонтальных размеров. В таких объектах наиболее типичным видом колебаний являются изгибные колебания, аналогичные по характеру смещения колебаниям струны. При изгибных колебаниях будет иметь место прогиб осевой плоскости пластины относительно ее положения в свободном начальном состоянии  (рис. 3.1, а). Прогиб элемента пластины сопровождается появлением изгибающих моментов  и перерезывающих сил  и  (см. рис. 3.1, б). При изгибе пластины величина прогиба ее средней линии от положения равновесия будет определяться одним из основных параметров пластины – цилиндрической изгибной жесткостью пластины , характеризующей величину изгибающего момента, стремящегося привести пластину в равновесное состояние, при заданной величине прогиба пластины:

.                     (3.1)

При свободных колебаниях прямоугольной пластины, так же как и при свободных продольных колебаниях стержня, в пластине наблюдается возникновение стоячих волн с различными собственными частотами . Однако, если в стержне стоячая волна возникает только вдоль осевой стержня, в пластине стоящие волны могут возникнуть в направлении каждой из сторон пластины, например, вдоль оси  или вдоль оси . Кроме того, стоячие волны вдоль каждой из сторон пластины могут складываться друг с другом, в результате чего возникают стоячие волны по диагонали пластины. Аналитически решение для смещений частиц прямоугольной пластины записывается следующим образом:

.     (3.2)            

В случае зажатой по краям пластины, для которой граничные условия имеют наиболее простой вид:

; ; ; , (3.3)

функция  равна

. (3.4)

Из (3.4) видно, что собственные колебания пластины определяются набором стоячих волн вдоль оси  и вдоль оси , имеющих пространственное распределение, определяемое выражением (3.4) и числом  или  – номером моды вдоль каждой из оси координат. Собственная частота пластины зависит также от номера моды  или  и от условий закрепления пластины на ее краях. В общем случае частота квадратных пластин на моде  и  определяется по формуле:

,     (3.5)

где параметр  имеет различные значения при различных граничных условиях и различных значениях  и .

Каждая стоячая волна будет характеризоваться узлами и пучностями. Число узлов и пучностей в пластине определяется номером  и  гармоник (мод), т. е. отношением собственной частоты данной моды к основной частоте пластины в направлении осей  и  (рис.3.1).

В частном случае узкой, тонкой пластины, при условии соотношения длин ее сторон >> 1 и < , где        - скорость изгибной волны в пластине, в пластине будут возникать моды только с номерами (номера =1), как в стержне, и стоячие волны будут образовываться только вдоль длины пластины.

Если один конец такой тонкой пластины консольно закреплен, а другой свободен, то условие возникновения изгибных мод номера n будет соответствовать равенству длины пластины  целому числу четвертей изгибных волн  в пластине:

    ,                                (3.1)

где n=1, 2, 3,                

   При этом собственные частоты изгибных мод номера n такой пластины определяется следующим образом:

                               ,                          (3.2)

где  - длина образца;

     - толщина образца;

   - коэффициент, зависящий от номера моды (b₁=0,597; b₂=1,494; b₃=2,5).

Длина изгибной волны  определяется частотой колебаний пластины  и величиной скорости изгибной волны :

                                         .                               (3.3)

   Однако, в отличие от продольных колебаний стержня, скорость изгибных волн в пластине зависит от частоты колебаний пластины :

                                 .                     (3.4)

   Поэтому соотношение между частотами собственных колебаний пластины не определяются целыми числами.