Метод векторных диаграмм

Рассмотрим вращающийся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью w вектор А. Очевидно, что угол j = wt + j₀ где j₀ - начальный угол.

Проекции вектора А на оси координат запишутся:

Видно, что проекции вращающегося вектора на оси координат по форме совпадают с уравнением гармонических колебаний, если угловой скорости вектора сопоставить угловую частоту колебаний, а начальному углу - начальную фазу.

Проводя аналогию дальше, можно сказать, что результат сложения двух однонаправленных колебаний можно получить следующим путем: необходимо сложить два вектора, а проекции суммарного вектора на оси координат будут являться уравнениями результирующего колебания. Рассмотрим этот метод на примере сложения двух колебаний с произвольными частотами. Пусть наше тело участвует в двух совпадающих по направлению колебаниях:

Сопоставим этим колебаниям два вектора А₁ и А₂, вращающихся с соответствующими угловыми скоростями.

Сопоставляем колебаниям проекции векторов на ось y. Задача сложения колебаний сводится к нахождению проекции вектора А на ось y (амплитуда результирующего колебания) и угла f(фаза результирующего колебания).

Из очевидных геометрических соображений находим:

Отметим, что в общем случае сложения колебаний с разными частотами амплитуда результирующего колебания будет зависеть от времени. Если же частоты одинаковы, то , то есть зависимость от времени исчезает. На языке векторной диаграммы это означает, что складываемые векторы при своем вращении не меняют своего относительного положения. В этом случае формулы для амплитуды и фазы результирующего колебания запишутся так:

Рассмотрим сложение двух однонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами, то есть , и пусть для определенности . Для простоты пусть начальные фазы и амплитуды этих колебаний равны. В результате сложения двух колебаний

получим уравнение суммарного колебания:

Полученное результирующее колебание не является гармоническим (сравни с уравнением (1)); такого вида колебания носят название биений, название понятно, если посмотреть на график колебаний.

Величина, стоящая перед синусом, меняется со временем относительно медленно, так как разность частот мала. Эту величину условно называют амплитудой биений, а разность складываемых частот - частотой биений (циклической).

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний необходимо найти уравнение траектории тела, то есть из уравнений колебаний типа x = x(t), y = y(t) исключить t и получить зависимость типа y(x).

например, сложим два колебания с одинаковыми частотами:

исключив время, получим:

В общем случае это - уравнение эллипса. При A₁=A₂ - окружность, при (m - целое) - отрезок прямой.

Вид траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Получающиеся кривые носят название фигур Лиссажу.

Биения

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте w₁ ≈ w₂. Получим уравнение результирующего колебания для этого случая.

Биения — явление, возникающее при наложении двух периодических колебаний, например, гармонических, близких по частоте, выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала. Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот исходных сигналов.

Примем, что амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты: w₁ = w, w₂ = w + Δw, причём Δw « w. Начало отсчёта выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

(30)

Складываем эти выражения, применяя формулу суммы косинусов.

Учитывая, что Δw « w и, пренебрегая Δw в сравнении с w, получаем:

.

Из анализа полученного выражения видно, что сомножитель, стоящий в скобках, меняется гораздо медленнее, чем второй сомножитель. И пока сомножитель в скобках совершит один полный цикл своих изменений, второй сомножитель сделает несколько колебаний.

Это даёт основание рассматривать результирующее колебание х как гармоническое с частотой w и амплитудой А_б, которая изменяется по периодическому закону:

_.

Кинематика СТО

Замедление времени. Пусть в системе, движущейся с собственной скоростью относительно наблюдателя, измерен промежуток времени (собственное время). В лабораторной системе, где наблюдатель неподвижен (в системе К), часы покажут при этом промежуток времени . Оба значения связаны соотношением

, где .

Из этого следует движущиеся часы идут медленнее неподвижных, таким образом, в движущихся системах К' время замедляется по отношению к неподвижной системе К.

Сокращение длины: Пусть в системе К' измерена длина l0 тела вдоль направления скорости (собственная длина). В лабораторной системе К, где наблюдатель неподвижен, измеренная длина тела равна l. Оба значения связаны соотношением

, где .

т.е. длина тела сокращается в направлении движения. В направлении перпендикулярном движению, сокращение длины не происходит.

Релятивистский закон сложения скоростей: Пусть тело движется со скоростью ' относительно некоторой системы координат . В свою очередь, эта система К' движется со скоростью U относительно неподвижной системы К так, что обе скорости лежат на одной прямой. Результирующая скорость тела относительно наблюдателя (системы К):

.

Масса движущегося тела (m) оказывается больше массы покоя (m₀) того же тела, относительно неподвижного наблюдения.

m = .

Чем ближе скорость тела к скорости света, тем больше его масса. Если бы тело могло двигаться со скоростью, примерно равной скорости света, то его масса выросла бы до бесконечности. Из этого следует, что никакое тело с массой нельзя разогнать до скорости света, т.к. для этого потребовалась бы бесконечная энергия.