Анализ и решение данных задач можно осуществлять по следующей схеме:

1. Уясните, в чем состоит рассматриваемое в задаче испытание.

2. Обозначьте буквами события, рассматриваемые в условии
задачи.

3. С помощью введенных обозначений выразите событие, вероят­ ность наступления которого необходимо найти.

4. Если требуется найти вероятность суммы событий, выясните,
совместны или несовместны рассматриваемые события. Если же
требуется найти вероятность произведения событий, выясните,
зависимы или независимы рассматриваемые события.

5. Выберите соответствующую условию задачи формулу и вы­
полните необходимые вычисления.

6. Иван Иванович отправился охотиться на медведей и зайцев и оценивает свои перспективы следующим образом:

— Один шанс из четырех за то, что попадется только заяц; один к десяти за то, что подстрелю только медведя; один к сорока,— что будет и медведь, и заяц.

Найдите вероятность того, что не видать Ивану Ивановичу в качестве охотничьего трофея:

а) ни одного зайца; б) ни одного медведя; в) ни медведя, ни зайца.

Решение. Введем обозначения для событий: А —«ни одного зайца», В — «ни одного медведя» и С —«ни медведя, ни зайца».

Элементарными событиями опыта являются следующие события: «толь­ко заяц» (а), «только медведь» (Ь), «и заяц, и медведь» (с) и «ни зайца, ни медведя» (d). Из условия задачи находим: Р(a) = 1/4, Р(b) = 1/10 и Р(с) = 1/40.

Тогда P(d) = 1-(1/4+ 1/10 + 1/40) = 5/8.

Событию А благоприятствуют элементарные события b и d.

 Поэтому Р(А) = Р(Ь) + P(d) = 1/10 + 5/8 = 29/40.

Аналогично находятся вероятности остальных событий.

7. В коробке лежат 24 одинаковые авторучки. Из них 13 красные, 5 зеленые, остальные — синие. Продавец наудачу достает одну авторучку. Найдите вероятности событий:

а) «извлеченная ручка красная»;

б) «извлеченная ручка не зеленая».

Решение. Элементарными событиями в описанном опыте являются со­
бытия К, 3 и С.                                  

а) Вероятность элементарного события К равна 13/24.

б) Вероятность элементарного события 3 равна 5/24. Синих ручек 6,
следовательно, вероятность элементарного события С равна 6/24.

Событию А «извлеченная ручка не зеленая» благоприятствуют элемен­тарные события К и С, поэтому Р(A) = 13/24 + 6/24 = 19/24.

8. Могут ли быть противоположными события С и D , если

а) Р(С) = 0,12; P(D) = 0,78; б) Р(С) = 0,14; P ( D ) = 0,86.

Решение, а) Р(С) + Р(D) = 0,12 + 0,78 = 0,9. Полученная сумма не равна 1, поэтому события С и D не являются противоположными.

б) P(C)+P(D) =0,14 + 0,86= 1. Полученная сумма равна 1, поэтому
события С и D могут (но не обязаны) быть противоположными.

9 . а). Бросают одну игральную кость. Событие А — «выпало четное число очков». Событие В состоит в том, что выпало число очков, кратное 3. Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событие AUB . Найдите P(AUB).

Решение. Элементарными событиями опыта можно считать числа 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событию А благоприятствуют элементарные события 2, 4 и 6. Событию В благоприятствуют элементарные события 3 и 6.

Событие A U В состоит в том, что выпало либо четное, либо кратное трем число очков. Этому событию благоприятствуют 4 элементарных со­бытия 2, 3, 4 и 6. Все элементарные события равновозможны, поэтому P(AUB) = 4/6 = 2/3.

10. Известно, что Р(А) = 0,4, Р(В) = 0,8 и Р(А∩В) = 0,2. Докажите, что событие A UB является достоверным.

Решение. Применим формулу сложения вероятностей:

P(AUB) = Р(А)+Р(B)-Р(A∩B) = 0,4 + 0,8 – 0,2 =1

Следовательно, событие AUB является достоверным. Доказательство окон­чено.

11. а). Бросают одну игральную кость. Событие А — «выпало четное число очков». Являются ли независимыми события А и В, если событие В состоит в том, что выпало число очков, кратное 3.

1