Самостоятельная работа 3 по теме «Распределение случайной величины»

1. Случайная величина принимает все четные значения от —2 до 6 с рав­ными вероятностями. Постройте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

2. Пять человек выстраиваются в очередь случайным образом. Среди этих пятерых в очереди стоит Иван Иванович. Постройте распределение случайной величины «число людей в очереди, стоящих перед Иваном Ивановичем».

3. В таблице дано распределение некоторой случайной величины X . Най­дите пропущенную вероятность.

Значение	1	2	3	4	5	6	7	8
Вероятность	0,16	0,2	0,03	0,05	0,12	0,07		0,24

4*. Случайная величина Z принимает натуральные значения от 1 до 6 с вероятностями P(Z = к) =  Найдите значение а.

 

                       Самостоятельная работа 4 по теме

                       «Математическое ожидание и дисперсия»

1. Случайная величина принимает все нечетные значения от —3 до 5 с равными вероятностями. Найдите ее математическое ожидание.

2. В таблице дано распределение случайной величины X . Чему равно Е(Х)?

Значение	1	2	3	4	5	6	7	8
Вероятность	0,16	0,19	0,02	0,06	0,11	0,06	0,15	0,25

3. Игральную кость бросили 64 раза. Найдите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X, равной числу выпадения четного числа очков.

4*. Серию испытаний Бернулли проводят дважды. В первый раз вероятность успеха была равна , а во второй раз вероятность успеха равнялась

В обоих случаях случайная величина S —число наступивших успехов. В каком из случаев ожидаемый разброс величины S больше?

 

                       Примерная контрольная работа

Вариант 1

1. Найдите вероятность наступления ровно 3 успехов в 8 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р = .

2. В таблице дано распределение случайной величины X . Чему равна про­пущенная вероятность?

Значение	1	2	3	4	5	6
Вероятность	0.16	0.29		0.16	0,21	0,06

3. Игральную кость бросают один раз. Найдите математическое ожидание случайной величины «сумма кубов числа выпавших очков».

4. Игральную кость бросили 120 раз. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины «число выпадений четверки».

5*. В квадрат со стороной 1 дм вписан круг. Из квадрата случайным образом выбираются две точки. Найдите вероятность того, что обе точки принадлежат кругу.

Вариант 2

1. Найдите вероятность наступления ровно 4 успехов в 9 испытаниях Бернулли с вероятностью неудачи q = .

2. В таблице дано распределение случайной величины X . Чему равна про­пущенная вероятность?

Значение	-3	-2	-1	1	2	3
Вероятность	0,17	0,28	0,1		0,19	0,08

3. Игральную кость бросают один раз. Найдите математическое ожидание случайной величины «сумма квадратов числа выпавших очков».

4. Игральную кость бросили 180 раз. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины «число выпадений двойки».

5*. В круг радиусом 1 дм вписан квадрат. Из круга случайным образом выбираются две точки. Найдите вероятность того, что обе точки принадлежат квадрату.

                                    

                           

 

V . СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

Баррель (от слова «бочка») — единица объема, принятая для нефти; при­мерно 159 литров.

Бином Ньютона — формула для возведения в п-ю степень двучлена (бино­ма) a + b:

=  +  +  + ... +

Название формула получила в честь великого английского математика сэра Исаака Ньютона, который обобщил ее на случай дробных и отрицательных показателей степени.

Биномиальные коэффициенты — коэффициенты в формуле бинома Нью­тона. Каждый коэффициент  является числом сочетаний из п по к.

Благоприятствующее элементарное событие. Элементарное событие, при наступлении которого наступает событие  А, называется элементарным событием, благоприятствующим событию А.

Вероятность — числовая мера правдоподобия события. Вероятность прини­мает значения от 0 до 1.

Выбор наудачу (случайный выбор) — выбор одного предмета из некото­рого набора, при котором шансы на выбор любого предмета одинаковы.

Выборка — часть всей совокупности людей или предметов, отобранная для исследования. Например, выборкой является группа избирателей, которую опрашивают для предварительного выяснения шансов кандидатов на избрание в парламент страны.

Демография — наука о закономерностях изменения численности и состава населения.

Диаграмма — метод графического представления данных, который исполь­зуется для наглядного их отображения и сравнения. Как правило, диаграммы не дают точных значений, но лишь приблизительные.

Диаграмма круговая — диаграмма в виде круга, разделенного на секто­ры. Каждый сектор показывает, какую долю целого составляет та или иная величина в наборе данных. Обычно круговые диаграммы применяются для изображения состава населения, деления экономики на отрасли и т. п.

Диаграмма рассеивания — диаграмма, составленная из точек на коорди­натной плоскости. Диаграммы рассеивания применяются для изучения связей между различными характеристиками, например ростом и весом животного и т. д. Абсцисса и ордината каждой точки — значения этих характеристик.

Диаграмма столбиковая — диаграмма, наглядно показывающая соотноше­ние между различными значениями. Каждое значение представляется в виде столбика, высота которого пропорциональна этому значению.

Диаграмма Эйлера — способ графического изображения событий в виде фигур на плоскости. Каждое событие изображается некоторой фигурой, пере­сечение событий — общей частью этих фигур, объединение событий — объеди­нением фигур. Диаграммы Эйлера позволяют наглядно показать связь между различными событиями. Несовместные события изображаются фигурами, не имеющими общих точек.

Дисперсия случайной величины — мера рассеивания (разброса) значений случайной величины, определяемая формулой 

                                      D(X) = E(X - E(X))².

 Дисперсию также можно вычислять по формуле

                                       D(X) = E(X²) - E²(X).

У постоянной случайной величины дисперсия равна нулю.

Дисперсия набора чисел — мера разброса значений числовых наборов (чи­словой выборки). Дисперсия набора равна среднему квадрату отклонения чисел набора от среднего арифметического значения:

          =

Достоверное событие — событие, вероятность которого равна 1. Это собы­тие обязательно происходит при проведении опыта. Примером достоверного события является событие «выпал либо орел, либо решка» при бросании мо­неты.

Событие, противоположное достоверному, называется невозможным.

Дюйм — мера длины, равная 2,54 сантиметра. Один фут состоит из 12 дюй­мов. Один дюйм равен 10 линиям. В дюймах и линиях, например, измеряется калибр оружия. Знаменитая винтовка Мосина называется трехлинейкой, по­скольку имеет калибр 3 линии, т. е. 7,62 мм. Трехдюймовка—орудие, имеющее калибр три дюйма — 76,2 мм.

Футы и дюймы — основные единицы измерения роста людей, длин и высот сооружений в США.

Закон больших чисел — собирательное название группы математических теорем, утверждающих, что среднее значение суммы случайных величин мало отличается от среднего значения их математических ожиданий при различных условиях. Основное условие — большое число складываемых величин, откуда и происходит название закона.

Испытание Бернулли—эксперимент, который заканчивается одним из двух элементарных событий: успехом или неудачей.

Комбинаторная задача — задача, связанная с необходимостью перечисле­ния предметов или их комбинаций.

Легенда диаграммы — изображение условных обозначений с разъяснения­ми. Легенды также бывают у географических карт.

Маловероятное событие — событие, вероятность которого в обычных усло­виях считается малой. Пример — выигрыш в лотерею.

Математическая монета — «идеальная» монета, которая падает вверх орлом с вероятностью . Все свойства настоящей монеты — размер, материал, достоинство — для математической монеты несущественны. Математическую монету еще называют симметричной монетой.

Математическая игральная кость — «идеальный» игральный кубик,  для

которого вероятность выпадения любой грани равна  . Математическую кость называют также симметричной. Наилучшим приближением к математической кости является обычная правильная кость.

Математическое ожидание случайной величины — числовая характери­стика случайной величины, показывающая ее среднее значение. Математиче­ское ожидание случайной величины вычисляется по формуле

Е(Х) = +  + ...+ ,

где  — вероятность того, что X = .

Медиана числового набора. Медиана набора — число, которое характери­зует расположение набора на числовой прямой.

Чтобы найти медиану, набор чисел можно упорядочить по возрастанию. Если в полученном наборе нечетное количество чисел, то медиана —это число, стоящее посередине; если в полученном наборе четное количество чисел, то медиана равна полусумме двух чисел, стоящих посередине.

Мера рассеивания (мера разброса) — числовая характеристика, показы­вающая, насколько близко к среднему значению группируются числа в наборе или значения случайной величины. Наиболее употребительные меры рассеива­ния — размах набора, средний модуль отклонения, дисперсия (средний квадрат отклонения) и стандартное отклонение (арифметический квадратный корень из дисперсии).

Наибольшее значение набора — число в наборе, которое не меньше, чем любое другое число этого набора.

Наименьшее значение набора — число в наборе, которое не больше, чем любое другое число этого набора.

Невозможное событие — событие, вероятность которого в данном опыте равна нулю. Невозможное событие противоположно достоверному.

Независимые события. Два события А и В называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:

Р(А∩В)=Р(А)-Р(В).

Часто независимость событий объясняется независимостью опытов, к ко­торым они относятся. Например, независимы два события, относящиеся к различным испытаниям Бернулли.

Независимые случайные величины. Если любые два события, одно из которых связано со случайной величиной X , а другое — со случайной величи­ной Y , независимы, то случайные величины X и Y называются независимыми.

Аналогично определяется произвольное количество независимых величин.

Важным примером независимых величин является число успехов в различ­ных независимых испытаниях Бернулли.

Для независимых случайных величин X и Y верны следующие свойства:

1)                      Е(ХУ) = Е(Х)-Е(У);

2)                    D(X + Y)=D(X)+D(Y).

Несовместные события — два события, которые не могут наступить в од­ном и том же опыте вместе (одновременно). Примером несовместных событий являются противоположные события.

Номинальный вес изделия — вес изделия, который должен получиться со­гласно технологии производства. Вес изделия при массовом производстве — величина изменчивая, поэтому для каждого изделия вес может немного отли­чаться от номинального.

Объединение (сумма) событий. Объединением событий А и В называется событие, которое происходит в том и только в том случае, когда происходит хотя бы одно из событий А и В.

Орел — одна из сторон монеты (реверс). Другая сторона (аверс) называется решкой. Выпадение орла —одно из двух элементарных событий при бросании монеты.

Отклонение стандартное (среднее квадратичное) — мера рассеивания, ко­торая равна арифметическому квадратному корню из дисперсии случайной величины:

                             σ=

Пересечение (произведение) событий. Пересечением событий А и В на­зывается событие, которое происходит в том и только в том случае, когда наступают оба события А и В.

Перестановка — один из способов нумерации элементов некоторого множества. Если в множестве п элементов, то существует п! перестановок этих элементов.

Правило сложения вероятностей — правило, по которому вычисляется вероятность объединения событий. Для двух произвольных событий  А и В верна  формула

Р (АUВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А∩В).

Если события  А и Внесовместны, то формула принимает более простой вид:

P(AUB)=P(A)+P(B).

Правило умножения вероятностей — правило, которое гласит, что

вероятность пересечения независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(А∩В) = Р(А)∙Р(В).

Правило умножения комбинаторное — правило, которое гласит, что число пар из двух предметов двух типов равно

т ∙n,

где т—число предметов первого типа, п—число предметов второго типа. Имеется в виду, что в паре на первом месте стоит предмет первого типа, на втором - предмет второго типа.

Аналогично вычисляется число упорядоченных наборов, состоящих из предметов трех, четырех и более типов.

Противоположное событие. Событием, противоположным событию А  называется событие , состоящее в том, что событие А не наступило. Можно сказать иначе: событие  наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Равновозможные элементарные события — элементарные события,  у которых одинаковые шансы на наступление. Примером может служить опыт,  состоящий в бросании правильной игральной кости. В этом опыте шесть элементарных событий, и все они равновозможны.

Равновероятные события — события, вероятности которых равны.

Приме ром равновероятных событий могут служить равновозможные элементарные события. В опыте с бросанием игральной кости вероятность каждого из элементарных событий равна , поэтому все они равновероятны.

Размах набора — разность между наибольшим и наименьшим значением этого набора.

Распределение вероятностей — закон, по которому каждому значению слу­чайной величины в соответствие ставится вероятность того, что величина при­мет это значение. Распределение для конечной случайной величины можно задать таблицей, диаграммой или формулой.

Решка — одна из сторон монеты (аверс). Другая сторона (реверс) называется орлом. Выпадение решки — одно из двух элементарных событий при бросании монеты.

Серия испытаний Бернулли — случайный эксперимент, состоящий в по­следовательном проведении нескольких отдельных независимых испытаний Бернулли с одной и той же вероятностью успеха.

Систематическая ошибка — одна и та же ошибка, возникающая при любом измерении или наблюдении и связанная с настройкой прибора. Например, если весы не отрегулированы, то они все время могут показывать на 10 г больше, чем надо. Здесь 10 г — систематическая ошибка.

Если систематической ошибки нет, то все другие отклонения связаны со случайной изменчивостью и называются случайными ошибками измерения.

Случайная величина—величина, которая принимает те или иные значения в ходе случайного опыта под воздействием случая.

Случайная изменчивость — способность некоторой величины принимать различные значения по воле случая, т. е. под воздействием различных обстоя­тельств, которые нет возможности ни предвидеть, ни изменить.

Случайное событие—событие, которое может наступить в ходе некоторого опыта, а может не наступить. Наступит случайное событие или нет — дело случая.

Случайный выбор — см. выбор наудачу.

Случайный опыт (случайный эксперимент) — математическая абстрак­ция, описывающая реальный опыт, который может оканчиваться различны­ми случайными событиями. Под случайным опытом можно также понимать наблюдение за некоторым явлением природы или измерение некоторой ве­личины (длины, массы и т. п.). Иногда случайный опыт проводят намерен­но. Примером может служить любая игра или лотерея, спортивное состя­зание.

Социологическое обследование — сбор информации об обществе с помо­щью опроса специально отобранной группы населения (выборки). Примером социологического обследования может служить предварительный опрос изби­рателей, тестирование учащихся или абитуриентов, изучение спроса и предло­жения товаров.

Сочетание. Любой набор к предметов, отобранных из набора, в котором п предметов, называется сочетанием из п по к.

Среднее набора чисел — среднее арифметическое чисел этого набора, т. е. их сумма, деленная на их количество.

Статистика — наука, посвященная методам систематизации, обработки и использования большого количества числовых данных. Такие данные назы­ваются статистическими. Важным примером статистических данных может служить численность групп населения страны, данные о производстве того или иного вида продукции, сведения о спросе и предложении какого-либо товара.

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий вероятности собы­тий. Теория вероятностей разрабатывает методы, с помощью которых можно вычислить вероятности одних событий, зная вероятности других. Теория веро­ятностей изучает также случайные величины и их распределения.

Точность измерения. Под точностью измерения часто понимают допусти­мую ошибку, которую можно сделать при измерении. Например, измеряя рост человека, говорят об измерении с точностью до сантиметра.

Под точностью измерения также понимают разность между результатом измерения и истинным значением величины (длины, массы и т. п.).

Треугольник Паскаля (числовой или арифметический треугольник)—

тре­угольная таблица, в которой записаны биномиальные коэффициенты (числа сочетаний) . Крайние числа в каждой строке равны 1. Каждое число внутри треугольника получается сложением двух чисел, стоящих над ним. Треуголь­ник назван в честь французского математика Блеза Паскаля, опубликовавшего в 1665 году «Трактат об арифметическом треугольнике».

Урожайность зерновых культур — масса зерновых культур, собранных с одного гектара. Урожайность зерновых является важной характеристикой со­стояния сельского хозяйства страны.

Факториал. Факториалом натурального числа п называется произведение всех натуральных чисел, не превосходящих п. Факториал числа п обозначает­ся n!.

Таким образом, для натурального п факториал вычисляется по формуле

                                      n!=1∙2∙3∙4∙…∙n

Факториал нуля по определению полагают равным единице: 0! = 1.

Частота. Пусть при проведении п случайных опытов событие А наступило

к раз. Частотой события А называется отношение .

Число сочетаний. Число различных сочетаний из п по к обозначается С^к и вычисляется по формуле            =

Число успехов в серии испытаний Бернулли. Вероятность того, что в результате серии из п испытаний Бернулли наступит ровно к успехов, равна

P(S = k)=

где р и q — соответственно вероятности успеха и неудачи.

Численность (объем) выборки — количество чисел, людей, предметов в исследуемой выборке.

Элементарное событие — простейшее событие, которое наступает в ре­зультате случайного опыта. Элементарное событие нельзя разложить на более простые.

Любое событие опыта состоит из некоторых элементарных событий в том смысле, что является их объединением. Еще говорят, что элементарное событие может благоприятствовать некоторому событию.