Дискретные случайные величины

   Случайная величина , обозначаемая  , называется дискретной, если она принимает

конечное либо счетное множество значений, т.е. множество -конечное, либо счетное.

   Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность пар

чисел , где - возможные значения случайной величины, а - вероятности, с

которыми она принимает эти значения, причем

         Зная закон распределения случайной величины, можно вычислить функцию распределения:

                                        

где суммирование распространяется на все значения индекса , для которых

        Математическим ожиданием  дискретной случайной величины  называется сумма произведений всех ее возможных значений и соответствующих им вероятностей:

                                      

        Модой дискретной случайной величины, обозначаемой   называется ее наиболее вероятное значение.

        Медианой   случайной величины  называется такое ее значение  , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , т.е.

                                               

       Дисперсией случайной величины называется математическое ожиданиеквадрата ее отклонения:

                                           

        Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

         или

       Средним квадратическим отклонением (стандартом) случайной величины  называется арифметический корень из дисперсии, т.е.

        Начальным моментом   порядка  случайной величины  называется математическое ожидание -й степени этой случайной величины, т.е.    

        Для дискретной случайной величины

        Центральным моментом порядка  случайной величины  называется математическое ожидание -й степени отклонения , т.е. .

        Для дискретной случайной величины

       Биноминальным  называют закон распределения дискретной случайной величины - числа появлений событий в  независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна ; вероятность возможного значения  ( числа  появлений события ) вычисляют по формуле Бернулли : , где . При этом матема-тическое ожидание и дисперсия соответственно равны:  

         Наивероятнейшее число   появлений событий в  независимых испытаниях определяется по формуле:

       Если число испытаний велико, а вероятность появления события  в каждом испытании мала, то вероятность того, что некоторое событие появиться  раз в  испытаниях, приближенно вычисляется по формуле:

                                                                  ,

  где  - число появлений событий в  независимых испытаниях,  - среднее число появлений событий в  испытаниях. Случайная величина, характеризующая число наступлений события  в  независимых испытаниях, распределена по закону Пуассона , если

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона:

                                              

Геометрическое распределение  возникает в том случае, когда производится серия испытаний до первого появившегося события  . Тогда распределение случайной величины  имеет вид:

 

	1	2	3	…		…
				…		…

 

 

  Вероятность появления события   в каждом испытании постоянна и равна , т.е.

 и   

  Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по геометрическому закону, соответственно равны:

 

                          

 

  Гипергеометрический закон распределения используется при проверке качества продукции. Проверяется   изделий, и известно, что среди этих изделий имеется  изделий, которые обладают некоторым признаком , а остальные - признаком . Для проверки производится выборка, содержащая изделий. Определить вероятность того, что среди этих изделий  изделий обладают некоторым признаком . Для определения вероятности используется классический способ задания вероятности. Число элементарных событий будет определяться числом сочетаний 

              и         ,

  где  - событие, состоящее в том, что в выборке  объектов обладают признаком .    

  Закон распределения дискретной случайной величины , характеризующей число появлений события  раз в   испытаниях имеет вид:

 

· Если

 

        

	0	1	2	…

 

· Если

 

	0	1	…..

 

  Функция гипергеометрического распределения имеет вид

                                 

Гипергеометрический закон стремится к биноминальному закону распределению, если   при и его числовые характеристики следующие

                                 

  

             3.2. Непрерывные случайны величины.

 

  Случайная величина  называется непрерывной, если существует такая неотрицательная,

интегрируемая по Риману функция , называемая плотностью распределения вероятностей,

что при всех  Множество значений непрерывной

случайной величины   - некоторый числовой интервал.

Плотностью распределения вероятностей  непрерывной случайной величиныХ

называют предел, если он существует, отношения вероятности попадания случайной величины

Х на отрезок , примыкающей к точке , к длине этого отрезка, когда

последний стремится к 0, т.е.

             .

Свойства плотности распределения вероятностей:

 

- непрерывная или кусочно непрерывна функция;

  Функция распределения случайной величины  – это функция  действительной

переменной , определяющая вероятность того, что случайная величина принимает значение

меньше некоторого фиксированного числа , т.е.  

                       

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины :

 

; ;

Модой непрерывной случайной величины  называется действительное число ,

определяемое точка максимума плотности распределения вероятностей .

Медианой непрерывной случайной величины называется действительное число ,

Удовлетворяющее условию , т.е. корень уравнения

Начальный момент го порядка:

Центральный момент го порядка:

Коэффициент асимметрии или «скошенности» распределения

                    

Коэффициент эксцесса  или островершинности распределения

Случайная величина  называется центрированной, если  Если же для

случайной величины  то она называется центрированной и

нормированной (стандартизованной) случайной величиной.

 

     3.3. Законы распределения непрерывной случайной величины

 

Равномерное распределение: Пусть плотность вероятности равна нулю всюду, кроме отрезка , на котором все значения случайной величины Х одинаково возможны. Выражение плотности распределения вероятностей имеет следующий вид:

                  

Функция равномерного распределения задается формулой:

                  

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:

                              

                                

Показательное распределение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается функцией плотности вероятности:

 

                                  

где  постоянная и называется параметром экспоненциального распределения.

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид:

                                     

Математическое ожидание . Дисперсия , среднее квадратическое отклонение .

 

Лекция №6. Нормальное распределение.

 

Распределение с непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность распределения ее описывается формулой:

                                     

где    - параметры распределения.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:

 

 

Полученный интеграл нельзя выразить через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию:

 

        ,

называемую нормальной функцией распределения (функцией Лапласа). Эта функция неубывающая, непрерывная слева и   Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

Центральные моменты случайной величины с нормальным законом распределения вычисляются через следующие рекуррентные соотношения:

                        

поскольку то нечетные центральные моменты равны нулю, а четные центральные моменты равны:

Коэффициенты ассиметрии и эксцесса для нормального закона распределения равны нулю:

                      

так как они характеризуют скошенность и крутизну исследуемового закона распределения по сравнению с нормальным.

Вероятность попадания случайной величины , подчиненной нормальному закону распределения, на заданный интервал , определяется следующим образом:

              

или

функция Лапласа.

 

Вероятность заданного отклонения вычисляется по формуле:

         или

       

Интервалом практически возможных значений случайной величины , распределенной по нормальному закону , будет интервал

 

 

Лекция 7-8. Предельные теоремы и законы больших чисел

 

 

       Все законы вероятности получены из практики, то есть из наблюдений за массовыми случайными явлениями. Массовые случайные явления проявляются в статистической совокупности.

       Было замечено, что при определенных условиях массовые случайные явления порождают величину неслучайную, которая подчиняется вполне определенным закономерностям. Все полученные соответствующие теоремы и образуют теоремы закона больших чисел, в которых приведены условия, когда среднее значение случайных величин стремится к величине не случайной. Таким образом, закон больших чисел – это совокупность теорем, в которых приведены условия, при которых последовательность случайных величин подчиняется определенным закономерностям, то есть стремится к величине неслучайной.

               

Неравенство Чебышева:

Теорема: Вероятность того, что случайная величина  отклоняется от своего математического                 

           ожидания на величину не меньше , ограничена сверху величиной , где  -  

           положительное действительное число:

                    или