ДИСЦИПЛИНА «Математический  анализ»

1. Понятие функции, способы задания функции, Сложная функция, обратная функция. График функции.

2. Предел функции; ограниченность функции, имеющей предел, связь с бесконечно малыми. Единственность предела. Формулировка критерия Коши существования предела функции.

3. Предел суммы, разности, произведения и частного.

4. Переход к пределу в неравенствах, теорема о сохранении знака. Теорема о «зажатой переменной».

5. Предел сложной функции.

6. Непрерывные функции. Локальные свойства непрерывных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

7. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы . .

8. Эквивалентные, их свойства, таблица эквивалентных. Примеры.

9. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства пределов числовых последовательностей. Примеры. Формулировка критерия Коши существования предела последовательности.

10. Дифференцируемость функции одной переменной, связь с непрерывностью и производной. Дифференциал.

11. Правила дифференцирования, производная сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически.

12. Таблица производных простейших элементарных функций.

13. Геометрический смысл производной, касательная к графику функции.

14. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

15. Признак экстремума функции, признаки возрастания, убывания функции. Примеры.

16. Старшие производные. Признак выпуклости функции. Точки перегиба.

17. Асимптоты к графику функции(вертикальные, горизонтальные, наклонные). Построение графика функции.

18. Вектор-функция скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная.

19. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей  .

20. Формула Тейлора. Примеры. Формула Тейлора для простейших элементарных функций.

21. Первообразная функции. Неопределённый интеграл.

22. Таблица первообразных элементарных функций.

23. Свойства первообразных. Формула интегрирования по частям. Примеры.

24. Комплексные числа. Полярная форма. Алгебраические действия с комплексными числами.

25. Интеграл Римана. Необходимое условие интегрируемости. Верхние и нижние суммы Дарбу и их свойства.

26. Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману. Классы интегрируемых функций.

27. Интегрируемость по подотрезкам, аддитивность интеграла по отрезкам,

28. Линейность интеграла, интегрируемость кусочно непрерывной функции.

29. Интегрируемость произведения, интегрирование неравенств, интегрируемость модуля функции, интегральная теорема о среднем.

30. Интегралы с переменным пределом интегрирования, формула Ньютона-Лейбница.

31.  Замена переменного в интеграле Римана и интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме(без доказательства).

32. Геометрические приложения интеграла Римана.

33. Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Признак сравнения.

34. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов(без доказательства). Примеры.

35. Пространство , неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Открытые и замкнутые множества в . Компакты в .

36. Предел и непрерывность функций многих переменных , их свойства. Функции, непрерывные на множестве, их свойства.

37. Дифференцируемость функции в точке, дифференциал. Частные производные. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

38. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков.

39. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано(без доказательства) Экстремумы функций многих переменных , необходимое условие локального экстремума.

40.  Достаточное условие локального экстремума.

41. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Необходимое условие сходимости.

42. Числовые ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости(формулировка).

43. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно сходящиеся числовые ряды. Признак Дирихле(без доказательства).

44. Функциональные последовательности. Определение поточечной и равномерной сходимости. Критерий коши равномерной сходимости(без доказательства). Необходимый признак сходимости. Мажорантный признак Вейерштрасса.

45. Определение поточечной и равномерной сходимости функциональных рядов. Теорема о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций и суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящихся последовательностей и рядов. Теорема о почленном дифференцировании последовательностей и рядов( без доказательства).

46. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Единственность степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование (без доказательства) степенного ряда. Ряды Тейлора. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к самой функции. Табличные разложения.

47. Ортогональные системы функций. Обобщённые ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье.

48. Сходимость и равномерная сходимость тригонометрических рядов Фурье(без доказательства). Разложение в тригонометрический ряд Фурье чётных и нечётных функций. Чётные и нечётные продолжения. Разложения на различных промежутках.

49. Внутренняя, предельная, граничная точки. Замкнутые и ограниченные множества. Компакты. Связные множества. Понятие отображения компактов. Свойства отображений.

50. Двойной интеграл. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному.

51. Замена переменных в двойном интеграле. Понятие якобиана преобразования. Понятие несобственного двойного интеграла.

52. Тройные интегралы. Свойства тройных интегралов(без доказательства). Сведение к повторным. Замена переменных в тройном интеграле. Сферические и цилиндрические координаты.

53.  Площадь поверхности. Криволинейные интегралы 1-го рода. Независимость от параметризации кривой. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода.

54. Криволинейные интегралы 2-го рода. Свойства криволинейных интегралов второго рода.

55. Формула Грина. Поверхностные интегралы 1-го рода.

56. Поверхностные интегралы 2-го рода. Формула Гаусса-Остроградского.

57. Векторные поля. Поток вектора. Формула Гаусса-Остроградского в векторной форме.

58. Формула Стокса. Циркуляция вектора. Типы векторных полей.

59. Преобразование Фурье. Основные свойства. Обратное преобразование Фурье.