ДИСЦИПЛИНА «МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»

1. Постановка задач оптимизации. Задача математического программирования. Балансовые условия и условия в форме неравенств.

2. Необходимое и достаточное условие экстремума гладкой функции одного переменного. Приближённое решение уравнения  методом хорд и касательных. Приближённое нахождение экстремума функции одного переменного. Примеры численных решений уравнения .

3. Унимодальные функции. Метод дихотомии, симметрические методы: Фибоначчи, золотого сечения. Оценки точности вычислений. Скорость сходимости методов.

4. Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности. Интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков. Поиск минимума унимодальной функции методом парабол. Два способа нахождения интерполяционного многочлена третьего порядка.

5. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Собственные значения. Положительная определённость квадратичной формы, связь с собственными значениями. Критерий Сильвестра. Локальный Экстремум функции двух и трёх переменных. Примеры.

6. Понятие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия условного экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области.

7. Постановка задачи линейного программирования. Исключение балансовых условий. Ресурсная задача. Транспортная задача. Геометрическое решение задачи в случае двух переменных. Понятие симплекс–метода, геометрическая иллюстрация.

8. Метод наименьших квадратов.

9. Вариационное исчисление. Классическая задача вариационного исчисления. Вывод уравнения Эйлера. Доказательство экстремальности решения уравнения Эйлера. Примеры. Другие случаи граничных условий (свободный конец, изопериметрическая задача). Оптимизация работы ГЭС зимой. Приближённые методы решения. Прямые методы. Конечно–разностный метод Эйлера. Метод Ритца.

10. Выпуклое множество. Подграфик и надграфик функции. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости.

11. Задача выпуклого программирования.

12. Численные методы оптимизации. Методы нулевого и первого порядка. Метод покоординатного спуска, метод случайного поиска.

13. Градиентный метод. Приближённое построение градиента.

14. Штрафные и барьерные функции. Понятие об овражных функциях.

 Вариативный курс Уравнения математической физики (дополнительные главы (океанологи и метеорологи))

1. Формулы Грина и интегральное представление гармонических функций.

2. Свойства гармонических функций:

а) интеграл по границе от производной по нормали,

       б) две теоремы о среднем,

       в) принцип максимума.

3. Постановка внутренних и внешних задач для уравнения Лапласа в случае двух и трёх переменных. Единственность внутренней и внешней задач Дирихле. Единственность решения задачи Неймана.

4. Функция Грина для задачи Дирихле в случае круга, шара, полупространства.

5. Объёмный потенциал и его свойства.

6. Восстановление векторного поля по его ротору и дивергенции.

7. Гравитационные волны на поверхности жидкости. Постановка проблемы.

8. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины.

9. Кольцевые волны в бассейне ограниченной глубины.

Составитель: доц. А.К. Рыбников( МГУ им. М.В. Ломоносова)

ЛИТЕРАТУРА

Основная

34. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации.-М.: Наука, 1984; ФИЗМАТЛИТ 2007, (серия “Классический университетский учебник”).

35. Бараненков Г.С., Демидович Б.П. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (под ред. Демидовича Б.П.) — М.: изд. Аст: Астрель, 2003.

36. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Наука, 1985 (Альянс, 2007).

37. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006).

38. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988 (Дрофа, 2007). 

39. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М., Наука, 1985 (Дрофа, 2005). 

40. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М., Наука, 1982. (Физматлит, 2001).

41. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н.  Сборник задач по математической физике. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003(серия “Классический университетский учебник”).

42. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2001.

43. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: учебник для вузов, М., Наука, 2000.

44. Владимиров К.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: задачник для вузов, М., Наука, 2000.

45. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1980 (Лань, 2008).

46. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация: Теория, примеры, задачи.-М.:URSS;КомКнига,2006

47. Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1,2. — Минск: изд. ТетраСистемс, 2008.

48. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения, М., Наука, 1979.

49. Б.П. Демидович, В.П. Моденов, Дифференциальные уравнения. С.П-б.: «Иван Фёдоров», 2003

50. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

51. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. — М.: Проспект: изд. МГУ, 2004 (серия “Классический университетский учебник”).

52. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007.

53. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007.

54. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Профессия: Спб, 2005

55. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. т. 1, 2. Альфа, 1998 (Физматлит, 2005).

56. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т.1 Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М., Физматлит, 2003.

57. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 2. Интегралы. Ряды. М., Физматлит, 2003.

58. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 3. Функции нескольких переменных. М., Физматлит, 2003.

59. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

60. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. М., Наука, 1995.

61. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Высшая школа,1999

62. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. Лань, 2008

63. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С. М., Физматлит, ч.1-4, 2001 – 2004.

64. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М., Наука, 1999 (Физматлит, 2001). (ФИЗМАТЛИТ, 2004).

65.  Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005 (Серия « Классический университетский учебник» .

66. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1993, М.: Изд-во МГУ, 2004(серия “Классический университетский учебник”).

67. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Лань, 2007

68. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Эдиториал УРСС, 2000.

Дополнительная