ДИСЦИПЛИНА «Дифференциальные уравнения (дополнительные разделы), использование функций комплексного переменного»

1. Нормальная система  обыкновенных уравнений первого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы о существовании и единственности решений. Линейные системы. Свойства решений.

2. Линейно зависимые и независимые вектор–функции. Определитель Вронского для вектор–функций, его свойства.

3. Фундаментальная система решений. Её существование. Общее решение линейной однородной системы.

4. Неоднородные линейные системы. Общее решение. Метод вариации постоянных.

5. Автономные системы. Фазовые пространства и траектории. Первые интегралы. Необходимое и достаточное условие существования первого интеграла. Формулировка теоремы о существовании  независимых первых интегралов системы го порядка.

6. Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики.

7. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Сведение к системе обыкновенных уравнений.

8. Задача Коши для уравнения с частными производными первого порядка. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения. Линейные и нелинейные волны.

9. Течение воды в канале.

10. Уравнение кинематической волны.

11. Классификация уравнений с частными производными второго порядка в случае двух независимых переменных.

12. Канонический вид уравнений с частными производными второго порядка . Корректная постановка задач для разного типа уравнений.

13. Комплексные числа. Стереографическая проекция. Степенная функция комплексного переменного.

14. Ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Даламбера и Коши (признак Коши с верхним пределом).

15. Степенные ряды в комплексной области. Круг и кольцо сходимости.

16. Функции комплексного переменного. Функции , , , , , , , . Их свойства.

17. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши–Римана в декартовой и полярной системах координат. Сопряжённые гармонические функции.

18. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения.

19. Интеграл от функции комплексного переменного. Интегральная теорема Коши (без доказательства). Теорема о составном контуре.

20. Интеграл с переменным верхним пределом от аналитической функции. Первообразная аналитической функции.

21. Интегральная формула Коши.

22. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.

23. Теорема Лорана. Изолированные особые точки однозначного характера.

24. Плоско параллельное течение жидкости и комплексный потенциал.

25. Обтекание вертикального отрезка бесконечно глубоким потоком с заданной величиной скорости на бесконечности.

26. Преобразование Фурье и его свойства. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности методом преобразования Фурье.

27. Применение преобразования Фурье к задаче гидродинамики атмосферы.