Дисциплина «Математический анализ»

Предел последовательности и функции. Действия с пределами, связь с бесконечно малыми. Общие теоремы л пределах. Эквивалентные величины, их свойства. Таблицы эквивалентных, понятие о символе «о-малое».

       Точная верхняя и нижняя грани множества, теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях. Число e.

       Лемма Кантора о стягивающихся отрезках. Подпоследовательности, теорема Больцано-Вейерштрасса.          

Непрерывные функции, общие теоремы, локальные свойства, свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность элементарных функций, «замечательные пределы».

       Дифференцируемость функции одной переменной, связь с непрерывностью и с производной. Дифференциал, его геометрический смысл, инвариантность.

       Правила дифференцирования, таблица производных, производная сложной функции, обратной функции и функции, заданной параметрически.

       Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа, следствия из них. Исследование поведения функции с помощью производной, построение графиков с полным исследованием.

        Сравнение скоростей роста степенной, показательной и логарифмической функций.

       Производные высших порядков, геометрический смысл второй производной, формула Тейлора.

       Дифференцируемость функции нескольких переменных. Частные производные и дифференциал, связь дифференцируемости с наличием частных производных. Геометрический смысл дифференциала, его инвариантность.

       Производная по направлению, градиент.

       Частные производные высших порядков. Необходимое условие локального экстремума, формулировка достаточного условия локального экстремума.

       Неопределённый интеграл, основные методы интегрирования.

       Определённый интеграл, простейшие свойства, необходимое условие интегрируемости, классы интегрируемых функций. Интегрирование неравенств, аддитивность интеграла, как функции отрезка, теорема о среднем.

       Свойства интеграла, как функции верхнего предела, формула Ньютона-Лейбница.

       Геометрические и механические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы.

       Дифференциальные уравнения первого порядка, формулировка теоремы существования и единственности, методы изоклин и ломаных Эйлера. Простейшие классы интегрируемых уравнений и методы их решения.

       Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка( общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами).

       Примеры математических моделей, сводящихся к дифференциальным уравнениям: уравнение радиоактивного распада, модель роста биомассы, модель роста деревьев, модель «хищник-жертва».

       Простейшие свойства числовых рядов, критерий Коши. Ряды с положительными членами, признаки сравнения.

       Признаки Коши и Даламбера, интегральный признак.
       Абсолютная и условная сходимость рядов, признак Лейбница.

       Функциональные ряды, сходимость и равномерная сходимость, признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

       Степенные ряды, теорема Абеля, радиус и интервал сходимости, свойства суммы степенного ряда.

       Ряды Тейлора, основные разложения.

       Ряды с комплексными членами, формулы Эйлера.

.      Двойной интеграл, его свойства, замена переменных. Геометрические приложения двойного интеграла.

       Тройной интеграл, его свойства, замена переменных.

       Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства.

       Формула Грина, условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

       Односторонние и двусторонние поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода, связь между ними.

       Поток вектора через поверхность, дивергенция, теорема Остроградского-Гаусса.

       Векторные линии, векторные трубки, соленоидальное поле.

       Формула Стокса, ротор, циркуляция, потенциальное поле.

       Примеры применения векторного анализа к физическим задачам.

                  

Элементы математической физики    (вариативная дисциплина, возможно чтение в курсе математического анализа)

Ряды Фурье по тригонометрической системе функций. Формулировка теоремы о разложимости функции в ряд Фурье, разложения чётных и нечётных функций. Ортогональные системы функций на отрезке. Понятие об обобщённых рядах Фурье.

       Решение уравнения колебания струны методом Фурье.

       Решение уравнения теплопроводности методом Фурье.

       Задача о колебании неограниченной струны, формула Даламбера

Элементы теории функций комплексного переменного(вариативная дисциплина, возможно чтение в курсе математического анализа)

Дифференцируемые функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана, гармонические функции.

       Теорема Коши об интеграле от аналитической функции. Интегральная формула Коши.

       Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана. Классификация особых точек.

       Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычисление вычетов. Примеры вычисления интегралов с помощью вычетов.

Составитель: доц. Ю.Н. Сударев(МГУ им . М.В. Ломоносова)

Рекомендуемая литература:

Основная

2. Бараненков Г.С., Демидович Б.П. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (под ред. Демидовича Б.П.) — М.: изд. Аст: Астрель, 2003.

3. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Наука, 1985 (Альянс, 2007).

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006).

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988 (Дрофа, 2007). 

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М., Наука, 1985 (Дрофа, 2005). 

7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М., Наука, 1982. (Физматлит, 2001).

8. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н.  Сборник задач по математической физике. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003(серия “Классический университетский учебник”).

 

9. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2001.

10. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: учебник для вузов, М., Наука, 2000.

11. Владимиров К.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: задачник для вузов, М., Наука, 2000.

12. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1980 (Лань, 2008).

13. Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1,2. — Минск: изд. ТетраСистемс, 2008.

14. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения, М., Наука, 1979.

15. Б.П. Демидович, В.П. Моденов,Дифференциальные уравнения. С.П-б.: «Иван Фёдоров», 2003

16. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

17. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. — М.: Проспект: изд. МГУ, 2004 (серия “Классический университетский учебник”).

18. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007.

19. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007.

20. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Профессия: Спб, 2005

21. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. т. 1, 2. Альфа, 1998 (Физматлит, 2005).

22. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т.1 Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М., Физматлит, 2003.

23. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 2. Интегралы. Ряды. М., Физматлит, 2003.

24. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 3. Функции нескольких переменных. М., Физматлит, 2003.

25. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

26. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. М., Наука, 1995.

27. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Высшая школа,1999

28. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. Лань, 2008

29. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С. М., Физматлит, ч.1-4, 2001 – 2004.

30. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М., Наука, 1999 (Физматлит, 2001). (ФИЗМАТЛИТ, 2004).

31. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1993, М.: Изд-во МГУ, 2004(серия “Классический университетский учебник”).

32. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Лань, 2007

33. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Эдиториал УРСС, 2000.

 

Дополнительная