Программы математических дисциплин в образовательной области

«Биология» (УГС 020200-020206,020208,020209)

Базовая часть

Дисциплина	Семестр	Трудоем.
Высшая математика	1-2	11

ИТОГО:                                                                                                11 з.е.

Углубленный курс

Дисциплина	Семестр	Трудоем.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия	1-2	4
Математический анализ	1-4	8

ИТОГО:                                                                                              18з.е.

Вариативная часть

Элементы уравнений математической физики (3з.е.)

Элементы теории функций комплексного переменного (3 з.е.).

Примечание. Основной курс изучается студентами всех специальностей данного направления. В вузах, или потоках, дающих углубленную математическую подготовку, дополнительно изучаются дисциплины углубленного курса и дисциплины вариативной части в объеме до 24 зачетных единиц по решению вуза.

Основной курс

Дисциплина «Высшая математика»

Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры

Матрицы и определители, их основные свойства, действия с ними.

Примеры моделей в биологии, использующих матрицы( контакты первого и второго рода с больными, распределение генотипов в популяции). Системы линейных уравнений, существование и единственность решения. Правило Крамера. Векторы, действия с ними, выражение через координаты. Прямая и плоскость в пространстве. Простейшие кривые второго порядка, понятие о поверхностях второго порядка.

Основы математического анализа

 

Предел последовательности и функции. Действия с пределами, связь с бесконечно малыми. Общие теоремы л пределах. Эквивалентные величины, их свойства. Таблицы эквивалентных, понятие о символе «о-малое».

       Точная верхняя и нижняя грани множества, теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях. Число e.

       Непрерывные функции, основные свойства, непрерывность элементарных функций, «замечательные пределы».

       Дифференцируемость функции одной переменной, связь с непрерывностью и с производной. Дифференциал, его геометрический смысл, инвариантность.

       Правила дифференцирования, таблица производных, производная сложной функции, обратной функции и функции, заданной параметрически.

       Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа, следствия из них. Исследование поведения функции с помощью производной, построение графиков с полным исследованием.

        Сравнение скоростей роста степенной, показательной и логарифмической функций.

       Производные высших порядков, геометрический смысл второй производной, формула Тейлора.

       Элементы дифференциального исчисления функций нескольких переменных. Частные производные и дифференциал, связь дифференцируемости с наличием частных производных. Дифференциал, его геометрический смысл и инвариантность.

       Производная по направлению, градиент, его инвариантность.

       Частные производные высших порядков. Необходимое условие локального экстремума, формулировка достаточного условия локального экстремума.

       Неопределённый интеграл, основные методы интегрирования.

       Определённый интеграл, простейшие свойства, необходимое условие интегрируемости, классы интегрируемых функций. Интегрирование неравенств, аддитивность интеграла, как функции отрезка, теорема о среднем.

       Свойства интеграла, как функции верхнего предела, формула Ньютона-Лейбница.

       Геометрические и механические приложения определённого интеграла. Понятие о несобственных интегралах.

       Дифференциальные уравнения первого порядка, формулировка теоремы существования и единственности, методы изоклин и ломаных Эйлера. Простейшие классы интегрируемых уравнений и приёмы их решения.

       Линейные дифференциальные уравнения второго порядка( общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами).

       Примеры математических моделей, сводящихся к дифференциальным уравнениям: уравнение радиоактивного распада, модель роста биомассы, модель роста деревьев, модель «хищник-жертва».

       Простейшие свойства числовых рядов, формулировка критерия Коши. Ряды с положительными членами, признаки сравнения.

       Признаки Коши и Даламбера, интегральный признак.
       Абсолютная и условная сходимость рядов, признак Лейбница.

       Функциональные ряды, непрерывность суммы, дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.

       Степенные ряды, теорема Абеля, радиус и интервал сходимости, свойства суммы степенного ряда.

       Ряды Тейлора, основные разложения.

           Ряды с комплексными членами, формулы Эйлера

Углублённый курс( УГС 020207)

Дисциплина «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

 

Аналитическая геометрия

Основные формулы векторной алгебры. Вектор-функция скалярного аргумента. Прямые и плоскости в пространстве. Основные поверхности второго порядка.

Линейная алгебра

Матрицы, действия над ними, ранг матрицы, обратная матрица. Определители, их свойства. Примеры использования матриц в биологических моделях. Системы линейных уравнений, решение по правилу Крамера, критерий совместности. Однородные системы, фундаментальная система решений.

       n-мерное векторное пространство, размерность, базис. Разложение вектора по базису, переход к новому базису.

       Подпространства векторного пространства, размерность суммы и пересечения подпространств, прямая сумма.

       Линейные преобразования, матрица преобразования. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Стохастические матрицы и их свойства.

       Евклидово пространство, ортонормированный базис, неравенство Коши-Буняковского.

       Линейный оператор в евклидовом пространстве, сопряжённый вектор. Самосопряжённый оператор, его свойства и собственные значения. Ортогональный оператор, его матрица и собственные значения.

Квадратичные формы, приведение к каноническому виду, закон инерции, критерий Сильвестра.

Группы, определение и примеры. Подгруппы, Теорема Лагранжа.