Применение симплексного метода для управления прибылью путем оптимизации производственной программы

 

Для эффективного управления прибылью на предприятии ОАО «ВАСО» и реализации основной цели предприятия, необходимо определить степень влияния на ее величину многих факторов, затем рассчитать ее оптимальную величину, учитывая ограниченность ресурсов, находящихся в распоряжении предприятия. Данную проблему можно решить, используя экономико-математические методы, а именно симплекс-метод.

В последние годы в прикладной математике большое внимание уделяется новому классу задач оптимизации, заключающихся в нахождении в заданной области точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции, зависящей от большого числа переменных. Это так называемые задачи математического программирования.

Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом: найти экстремум некоторой функции многих переменных f ( x₁, x₂, ... , x_n) при ограничениях g_i ( x₁, x₂, ... , x_n )  b_i , где g_i - функция, описывающая ограничения,  - один из следующих знаков ≤, =, ≥, а b_i - действительное число, i = 1, ... , m. f называется функцией цели (целевая функция).

Решение задач математического программирования при помощи симплекс-метода традиционными способами требует затрат большого количества времени. В связи с бурным развитием компьютерной техники в последние десятилетия решение данных задач существенно упростилось [24, стр. 41].

Одним из существенных факторов, влияющих на величину прибыли является цена продукции. Предприятие ОАО «ВАСО» изготавливает различную продукцию и соответственно прибыль от реализации каждого вида продукции различна. Для максимизации прибыли предприятия от реализации продукции, необходимо определить оптимальный план выпуска изделий, исходя из максимальной прибыли и ограниченности эффективного фонда времени работы цехов завода.

В ходе решения поставленной задачи должен быть создан математический аппарат и его программная реализация, предназначенные для решения симплекс-методом основной задачи линейного программирования в ее основном виде.

Определим оптимальный план выпуска изделий

- измельчающий барабан КЕС 01105.000,

- вибрационный насос «Полив»,

- механическая сеялка С – 12А., исходя из максимальной прибыли и ограниченности фонда времени основных цехов предприятия ОАО «ВАСО». Прибыль от реализации изделий составляет:

- вибрационный насос «Полив» – 4 тыс. руб.,

- измельчающий барабан КЕС 01105.000– 5 тыс. руб.,

- механическая сеялка С – 12А – 6 тыс. руб.

Заготовительный цех может проработать в год не более 2000 часов, механический цех не более 1770 часов и сборочный не более 1660 часов. На изготовление изделий уходит времени по цехам (таблица 29).

 

Таблица 29 – Затраты времени на изготовление изделий

Основные цехи предприятия ОАО «ВАСО»	Время на изготовление измельчающего барабана КЕС 01105.000, ч.	Время на изготовление вибрационного насоса «Полив», ч.	Время на изготовление механической сеялки С – 12А, ч.
Заготовительный	4	8	6
Механический	5	6	4
Сборочный	6	4	5

 

Алгоритм решения поставленной задачи целесообразно свести в таблицу 30.

Таблица 30 – Алгоритм решения задачи симплекс-методом

1 Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

2 Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “равно” или “больше либо равно”, то в указанные ограничения добавляются искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

3 Формируется симплекс-таблица.

4 Рассчитываются симплекс-разности.

5 Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

6 При необходимости выполняются итерации. На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса.

 

1 Целевая функция (3.1):

 

S max = 4*x₁+5*x₂+6*x₃ (3.1)

 

Система ограничений (3.2):

 

4*x₁+5*x₂+6*x₃<=2000 (3.2)

8*x₁+6*x₂+4*x₃<=1770

6*x₁+4*x₂+5*x₃<=1600

x₁,x₂,x₃ >=0; - условие неотрицательности переменных.

 

Математическая модель задачи:

Целевая функция (3.3):

 

S max = 4*x₁+5*x₂+6*x₃ (3.3)

 

Система ограничений (3.4):

 

4*x₁+5*x₂+6*x₃<=2000 (3.4)

8*x₁+6*x₂+4*x₃<=1770

6*x₁+4*x₂+5*x₃<=1600

x₁,x₂,x₃, >=0; - условие неотрицательности переменных.

Система неравенств приведена к каноническому виду:

Целевая функция (3.5):

 

S max = 4*x₁+5*x₂+6*x₃+0*x₄+0*x₅+0*x₆ (3.5)

 

2 Система ограничений:

Исходное ограничение, записанное в виде неравенства, можно представить в виде равенства, прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения. Для этого в левые части исходных ограничений вводим дополнительные переменные x₄≥0, x₅≥0, x₆≥0, в результате чего исходные неравенства обращаются в равенство:

 

4*x₁+5*x₂+6*x₃+x₄=2000

8*x₁+6*x₂+4*x₃+ x₅=1770

6*x₁+4*x₂+5*x₃+ x₆=1600

 

Поскольку исходные ограничения определяют расход времени на изготовление изделий, переменные x₄, x₅, x₆, следует интерпретировать как остаток, или неиспользованную часть, фонда времени работы цехов предприятия ОАО «ВАСО».

Векторный анализ системы ограничений, расширенная целевая функция:

 

S max = 4*x₁+5*x₂+6*x₃+0*x₄+0*x₅+0*x₆

 

Вектора, представлены в таблице 31:

Таблица 31 - Матрица из коэффициентов системы ограничений

P0	P1(x1)	P2(x2)	P3(x3)	P4(x4)	P5(x5)	P6(x6)
2000	4	5	6	1	0	0
1770	8	6	4	0	1	0
1600	6	4	5	0	0	1

 

Базис:

Базисный вектор №1: P4(x₄)

Базисный вектор №2: P5(x₅)

Базисный вектор №3: P6(x₆)

Расширенная целевая функция:

S max = 4*x₁+5*x₂+6*x₃+0*x₄+0*x₅+0*x₆

3 Заполняется исходная симплекс-таблица и рассчитываются симплекс-разности по формулам (3.6):

 

 

- текущее значение целевой функции;

 

 

- расчёт симплекс-разностей (3.6)

 

Для решения поставленной задачи линейного программирования составим симплексную таблицу 32.

 

Таблица 32 - Симплексная таблица для решения задачи

№

Base