Определение абсолютных линейных скоростей и ускорений места установки измерительных устройств

Согласно кинематической схеме (см. рис.1.) можем записать:

. (4.12)

Или с учетом соотношений ( ), получим:

. (4.13)

Где

. (4.14)

С помощью матриц

, (4.15)

можно из однородной матрицы перемещения выделить

. (4.16)

Согласно правилам перемножения матриц и выделения искомых матриц, имеем:

. (4.17)

Таким образом, для получения абсолютной линейной скорости необходимо определить

(4.18)

(4.19) Учитывая соотношения

; ; (4.20)

или

; ; . (4.21)

Тогда имеем:

(4.22)

Обычно абсолютная скорость движения исследуемой точки необходимо выразить в проекциях на оси установочной системы координат, т.е.

. (4.23)

Т.о., вектор абсолютной линейной скорости места установки измерительных устройств, выраженный в проекциях на оси установочной системы координат, имеет вид:

(4.24)

Или

(4.25)

Учитывая соотношения

(4.26)

получим окончательно

(4.27)

Для того, чтобы получить выражение для абсолютного линейного ускорения, необходимо вычислить

. (4.28)

Т.е.

(4.29)

Запишем полученный результат в матричной форме

, (4.30)

Индекс “~ (тильда)” указывает на кососимметричную форму данной матрицы.

В традиционной форме угловую скорость можно представить в виде

(4.32)

где (4.31)

Пример: абсолютные угловые скорости и линейные ускорения места установки блока датчиков.

Постановка задачи

Измерительный блок, состоящий из трех датчиков угловой скорости и трех акселерометров, входные оси которых соответственно направлены по ортогональным осям: O_dX_d1iY_d1iZ_d1i (i=1, 2, 3.) – для датчиков угловой скорости (ДУС) и O_dX_d2iY_d2iZ_d2i (i=1, 2, 3.) – для датчиков линейного ускорения (АКС). Следует отметить, что измерительный блок установлен на существенном удалении его от центра масс ЛА, а входные оси датчиков, как правило, не параллельны направлениям осям связанной системы координат ЛА.

В качестве параметров угловой ориентации ПО в работе использованы следующие параметры:

· кардановы углы (углы ортогональных поворотов) – угол курса, угол тангажа и угол курса ЛА;

· направляющие косинусы – компоненты матрицы (в форме Литвин – Седого);

А также однородные параметры, позволяющие задавать как угловые, так и линейные перемещения рассматриваемых систем координат.

Связь между используемыми системами координат представлена на Рис.1.; в качестве параметров, определяющих расположение систем координат между собой, использованы, так называемые, однородные параметры в матричной форме.

Вместо одновременного рассматривания двух систем координат датчиков ДУС и АКС соответственно, пока будем рассматривать только одну (любую) из них, которую обозначим O_dX_dY_dZ_d.

Рис.1. Системы координат

Тогда положение системы координат датчиков относительно инерциальной системы координат определяется следующим соотношением

. (1.1)

Где матрицы положения, определяющие ориентацию промежуточных систем координат, имеют вид: .

Здесь использованы следующие матрицы-вектора параметры положения:

(1.2)

- координаты места установки измерительного блока на борту ЛА;

- координаты места установки прибора в измерительном блоке ;

H_V – высота полета ЛА.

Выполнив следующие очевидные преобразования,

получим выражение для матрицы, определяющей положение системы координат датчиков относительно инерциальной системы координат

(1.3)

Следовательно, переходя к традиционной форме задания ориентации и положения системы координат датчиков относительно инерциальной системы координат, получим:

; (1.4)

- матрица направляющих косинусов, определяющая угловую ориентацию системы координат датчиков относительно инерциальной системы координат;

; (1.5)

- матрица-вектор, определяющая положение начала системы координат датчиков относительно инерциальной системы координат.