Задания для самостоятельного решения

Даны матрицы А и В:

а) найти произведение матриц А и В;

б) вычислить определитель матрицы А;

в) записать транспонированную матрицу А^Т;

г)показать, что след матрицы А равен следу матрицы А^Т.

1.

2.

3.

4.

 

 

5.

 

6.

 

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

11.

 

12.

 

13.

 

14.

 

 

15.

 

16.

 

17.

 

18.

 

19.

 

20.

 

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Литература: [1] гл.2, §2.1-2.6; [2] гл.4; [3] гл.1, §4; [4] гл.2; [5] гл.4, §5-7; [6] гл.3, §3.

Разберите решение задачи 2.

Систему линейных алгебраических уравнений

решить:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы;

В) методом Гаусса.

Решение:

А) по формулам Крамера

Формулы Крамера, позволяющие найти решение системы уравнений третьего порядка с тремя неизвестными в том случае, когда имеют вид:

, , ,где - определитель системы,

, , - дополнительные определители, получающиеся из определителя системы путем замены столбцов, соответствующих неизвестных на столбец свободных коэффициентов.

Составляем и вычисляем определители:

 

 

, т.е. система определена и имеет единственное решение.

 

 

,

 

,

 

.

Решение системы уравнений по формулам Крамера:

 

, , .

 

Б) с помощью обратной матрицы

 

Данную систему линейных алгебраических уравнений запишем в матричной форме. Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных;

Х-матрицу-столбец неизвестных х,у,z; В-матрицу-столбец свободных членов:

Левую часть системы уравнений можно записать в виде произведения А·Х. Следовательно, данную систему уравнений можно представить матричным уравнением А·Х=В.Если матрица А невырожденная (т.е. определитель составленный из элементов матрицы А отличен от нуля, D_А¹0), то матрица А имеет единственную обратную матрицу А^-1. Умножив обе части равенства А^.Х=В на матрицу А^-1 слева,получим А^-1 ·А·Х=А^-1·В. Так как А^-1·А=Е, где Е- единичная матрица, тогда матричная запись решения системы линейных уравнений Х=А^-1 ·В .

Обратная матрица определяется формулой

где А_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) – алгебраические дополнения элементов а_ij в определителе матрицы А.Алгебраические дополнения являются произведением (-1)^i+j на минор М_ij второго порядка А_ij=(-1)^i+jM_ij .

Минором M_ij является определитель на порядок меньший, получаемый вычерчиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель D_А любым способом, например разложением определителя по элементам первой строки:

Матрица Аневырожденная, т.к. D_А= - 41¹0, следовательно матрица Аимеет обратную матрицу А^-1.

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Запишем обратную матрицу А^-1

Матричное решение системы имеет вид Х= А^-1 ·В, т.е.

 

Таким образом х=3; у=4; z=2.

В) методом Гаусса.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных в системе уравнений. Элементарными преобразованиями приводят исходную СЛАУ к эквивалентной СЛАУ простейшего вида. При решении методом Гаусса расширенную матрицу системы уравнений элементарными преобразованиями приводят к треугольному виду.

Запишем расширенную матрицу данной СЛАУ. Выполним следующие преобразования:

1) поменяем строки местами;

2) от элементов 2-ой строки вычтем удвоенные элементы 1-ой строки; от элементов 3-ей строки вычтем элементы 1-ой строки, умноженные на 3;

3) элементы 2-ой и 3-ей строки разделим на (-1);

4) от элементов 3-ей строки, умноженных на 14, вычтем элементы 2-ой строки, умноженные на 11;;

4) элементы 3-ей строки разделим на (-41).

Далее, из 3-ей строки найдем значение z. Подставляя z во 2-ую строку, находим значение y. Подставляя z и у в 1-ую строку, находим значение х:

 

~ ~ ~

~ ~ ~

 

Из 3-ей строки следует, z=2. Из 2-ой строки 14у+ 5z = 66; 14у = 66 – 10 или

14у = 56, отсюда у = 4. Из 1-ой строки х+5у+ z = 25; х = 25-20-2 = 3; х = 3

Таким образом х=3; у=4; z=2.