Разберите решение задачи 3

Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства):

Решение:

Множество решений однородной СЛАУ является подпространством линейного пространства и обозначается (ker A). Размерность этого подпространства определяют по формуле: dim(ker A) = n – r, где n – количество неизвестных в однородной СЛАУ, r – ранг матрицы А. В нашем случае n =5. Необходимо найти ранг матрицы. Запишем матрицу коэффициентов СЛАУ и найдем ее ранг методом элементарных преобразований:

1) поменяем местами строки;

2) от элементов 2-ой строки вычтем элементы 1-ой строки, умноженной на 6; от элементов 3-ей строки вычтем элементы 1-ой строки, умноженной на 7;

3) от элементов 3-ей строки вычитаем элементы 2-ой, получаем нулевую строку и вычеркиваем ее

~ ~

~ ~ .

Ранг матрицы А равен числу ненулевых строк. Таким образом, r=2.

dim(ker A) = n – r=5-2=3. Т.е., линейное подпространство решений данной однородной СЛАУ имеет размерность 3. Следовательно, имеется три линейно независимых решения, которые образуют фундаментальную систему решений (ФСР) данной однородной СЛАУ. Решим укороченную систему:

Выберем в качестве базисного минора , также ранг полученной расширенной матрицы равен 2, тогда выберем два базисных неизвестных, например, х₁ и х₂. Оставшиеся х₃, х₄, х₅ будут свободными неизвестными. В укороченной системе базисные неизвестные перенесем в левую часть, а свободные неизвестные – в правую часть равенств.

Из последнего уравнения находим .Подставляя найденное значение х₂ в первое уравнение, найдем х₁:

.

Базисные решения получим, если свободным неизвестным будем придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными 0.

При х₃=1, х₄=0, х₅=0, получим .

При х₃=0, х₄=1, х₅=0, получим .

При х₃=0, х₄=0, х₅=1, получим .

Запишем базис линейного пространства решений однородной СЛАУ –

фундаментальную систему решений:

, , .

Размерность линейного пространства решений однородной СЛАУ равна 3.

Базис: .

Вопросы для самопроверки

1. Напишите формулы Крамера решения системы линейных

уравнений. В каких случаях система уравнений имеет а) единственное решение; б)бесчисленное множество решений; в)не имеет решения. В каких случаях можно использовать формулы Крамера.

1. Объясните схему решения системы линейных уравнений по

методу Гаусса.

2. Какая матрица называется обратной по отношению к данной

матрице? Напишите формулу обратной матрицы.

3. Что называется рангом матрицы? Как его найти?

4. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

5. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

6. Опишите алгоритм решения системы уравнений методом Гаусса.

7. Какая система уравнений называется однородной?

8. Какие решения образуют фундаментальную систему?