Задания для самостоятельного решения. В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить:

В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы;

В) методом Гаусса.

1. 2.

 

3. 4.

5. 6.

 

7. 8.

9. 10.

 

11. 12.

 

13. 14.

15. 16.

 

17. 18.

19. 20.

 

 

В задачах 21–40 найти общее решение однородной системы линейных уравнений и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства):

21.22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

 

29. 30.

31. 32.

 

33. 34.

 

35. 36.

37. 38.

39. 40.

 

 

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

Литература: [1] гл.3, §3.1; [2] гл.1, §1.1-1.3;гл.9, [3] гл.2, §5-8, гл.4; [4] гл.4; [5] гл.2; [6] гл.4, §1.

 

Разберите решение задачи 4.

Вычислить объем тетраэдра (пирамиды) с вершинами А₁(2;3;1), А₂(4;1;-2), А₃(6;3;7), А₄(-5;-4;8), его высоту, опущенную из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Определить угол между гранями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄.

___

Решение. Из вершины А₁ проведем векторы А₁А₂={x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁}=

___ ___ ___

{4-2;1-3;-2-1}. Имеем А₁А₂ ={2;-2;-3}. А₁А₃={4;0;6}. А₁А₄={-7;-7;7}.

Вычисляем смешанное произведение векторов

___ ___ ___ ½ 2 -2 -3 ½

А₁А₂^.А₁А₃^.А₁А₄= ½ 4 0 6 ½=308

½-7 -7 7 ½

и вычисляем объем тетраэдра по формуле

___ ___ ___

V _тетр.=(1/6)V_пар.=(1/6)(А₁А₂^.А₁А₃^.А₁А₄),

где V _тетр и V_пар – объемы тетраэдра и параллелепипеда, построенных на

___ ___ ___

векторах А₁А₂, А₁А₃, А₁А₄ .

Итак объем тетраэдра V _тетр.=(1/6)V_пар = 308/6=154/3 (куб. единиц объема).

С другой стороны V _тетр.=(1/3) S _D(А1А2А3)^.Н, (2)

___ ___

где S _D(А1А2А3)=(1/2)½А₁А₂ х А₁А₃ ½.

Сравнивая формулы (1) и (2), получим

Для определения высоты Н тетраэдра необходимо вычислить модуль векторного произведения. Вычисляем координаты векторного произведения

 

и его модуль

Находим высоту Н по формуле (3)

Н=308/28=11 (ед. длины)

Для определения угла между плоскостями необходимо записать координаты нормальных векторов к этим плоскостям, затем определить косинус угла по формуле

Высота Н является нормальным вектором к плоскости треугольника А₁А₂А₃ .

_

Координаты вектора n₁={-12;-24;8} .

Запишем уравнение плоскости А₁А₂А₄, как уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:

 

 

Подставим координаты точек А₁, А₂, А₄

 

или

 

Разложим определитель по элементам 1 строки:

(х-2)(-14-21) - (у-3)(14-21) + (z-1)(-14-14) = 0

(х-2)(-35) + (у-3)7 + ( z-1)(-28) = 0

-35х+7у-28z+77 = 0

или 5х-у+4z-11=0

В качестве нормального вектора плоскости А₁А₂А₄ можно взять

_

нормальный вектор n₂={5;-1;4} .

 

Острый угол между плоскостями определим по формуле (4)

 

 

.

 

Вопросы для самопроверки

1. Какие величины называются скалярными? векторными?

2. Какие векторы называются коллинеарными?

3. Какие два вектора называются равными?

4. Как сложить два вектора? Как их вычесть?

5. Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца?

6. Назовите правила сложения, вычитания векторов, заданных в координатной форме.

7. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

8. Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам?

9. Напишите формулу для определения угла между двумя векторами.

10. Напишите условия: коллинеарности двух векторов; их перпендикулярности.

11. Напишите формулы длины вектора, рас­стояния между двумя точками в декартовой системе координат.

12. Дайте определение векторного произведения двух векторов, его свойства, вы­ражение через координаты перемножаемых векторов.

13. Дайте определение смешанного произведения трёх векторов, его свойства, вы­ражение через координаты перемножаемых векторов.