Линейная алгебра. Векторная алгебра. Евклидово пространство

Задание 1.

Замечание. Здесь и далее верные варианты ответов помечены точкой и подчеркнуты.

Решение.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:

По правилу Крамера если Δ ≠ 0.

В данном случае:

 

 

Задание 2.

Решение.

Пусть даны матрица А размерности и матрица В размерности . Произведением матрицы А на матрицу В называется новая матрица С = А · В размерности . В данном случае ; ; Элементы матрицы С вычисляются по формуле:

В данном случае:

Задание 3 .

Решение.

Разложение определителя по элементам второй строки имеет вид:

 

 

Задание 4.

 

Пояснения.

Первое утверждение верно. Ранг матрицы по определению равен k, если существует хотя бы один отличный от нуля минор порядка k и все миноры высших порядков равны нулю. Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк и столбцов этой матрицы.

Второе утверждение верно. Если все миноры порядка k -1 равны нулю, то и минор порядка k равен нулю.

Третье утверждение не верно, т.к. общее число строк и столбцов матрицы может быть больше числа линейно независимых строк и столбцов этой матрицы

Четвертое утверждение абсурдно.

 

 

Задание 5.

 

Решение.

Пусть даны два n-мерных вектора и .

Скалярным произведением этих векторов называется число:

.

Угол между векторами и определяется формулой:

Если угол φ тупой, то или

В данном случае:

 

 

Задание 6.

 

Решение.

Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

В данном случае .

 

 

Задание 7.

Решение.

Вектор называется нормированным, если его модуль равен единице. В данном случае: ;

;

; ; ; .

 

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Задание 1.

Решение.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку K в заданном направлении (перпендикулярно прямой MN):

.

По условию перпендикулярности .

Искомое уравнение принимает вид:

 

Задание 2 .

 

Решение.

Уравнение окружности с центром в точке определяется уравнением:

Координаты центра заданы, поэтому достаточно определить радиус. Для этого используем условие прохождения искомой окружности через точку А(10;10); т.е. подставим координаты точки А в уравнение окружности.

Тогда, уравнение окружности принимает вид:

 

 

Задание 3.

 

Пояснения.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

Если в уравнении отсутствует некоторая переменная, например z, то плоскость параллельна соответствующей оси, например Oz. Если отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.

 

 

Задание 4.

Решение.

 

Угловой коэффициент определяется формулой:

Разделы «Комплексные числа», «Действия над комплексными числами», «Тригонометрическая форма комплексного числа» являются составными частями дидактической единицы «Комплексный анализ»

Задание 5.

 

Решение.

 

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: , где ; .

В данном случае по геометрической иллюстрации видно, что и . Значит и .