Линейная зависимость и независимость векторов
Опр.2. Вектор называется линейной комбинацией векторов , если . Говорят также, что вектор b линейно выражается через векторы . Опр.3. Система векторов пространства называется линейно зависимой, если существуют неравные нулю одновременно элементы поля Р такие, что . Опр.4. Система векторов называется линейно независимой, если равенство выполняется только при . Свойства линейной зависимости векторов: 1) Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. Доказательство: Пусть первый вектор системы - нулевой, т.е. имеем систему , тогда . То есть нашлись не равные нулю одновременно элементы поля Р - , такие что линейная комбинация системы векторов равна . Значит система векторов линейно зависима. ▲. 2) Система векторов линейно зависима, если какая-то её подсистема (часть) линейно зависима. Доказательство: Пусть дана система векторов , причем её подсистема - линейно зависима. Значит, существуют не равные нулю одновременно , такие, что система линейно зависима. ▲. Следствие: любая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима. 3) Система векторов линейно зависима хотя бы одни вектор этой системы линейно выражается через остальные векторы системы. Доказательство: 1. . Пусть - линейно зависимая система , не равные нулю одновременно, такие, что . Пусть для определенности Тогда, умножив равенство на , получим: , т.е. линейно выражается через . 2. . Пусть, например, линейно выражается через такие, что . Т.е. нашлись такие не равные нулю одновременно элементы поля Р: , что . Значит система векторов линейно зависима. ▲. 4) Если система векторов линейно независима, а система - линейно зависима, то вектор b единственным образом линейно выражается через . Доказательство: 1. Существование разложения. Так как система линейно зависима, то , не равные нулю одновременно, такие, что . Обязательно , т.к. в противном случае была бы линейно зависима. Значит , то есть b линейно выражается через . 2. Единственность. Пусть вектор b может быть линейно выражен через вектора двумя способами. Т.е. и . Вычтем из первого равенства второе, получим: Так как система векторов линейно независима, то такое равенство выполняется только при . То есть разложение вектора b по векторам единственное. ▲. 5) Пусть даны две системы векторов пространства : причем и каждый вектор системы линейно выражается через векторы системы , тогда система - линейно зависима. Доказательство: По условию, Система линейно зависима Рассмотрим систему уравнений: В этой однородной системе , т.е. число неизвестных больше, чем число уравнений системы, значит система имеет ненулевое решение. А значит и система имеет ненулевое решение имеет место равенство система линейно зависима. ▲. Примеры векторных пространств: 1. - арифметическое векторное пространство над . 2. - множество всех матриц размера с элементами поля Р - векторное пространство над полем Р. 3. Многочлены от одной переменной с коэффициентами из поля Р - векторное пространство над Р - . 4. - многочлены от одной переменной с коэффициентами из поля Р степени не выше п. 5. - множество всех отображений множества в - векторное пространство над полем относительно операций сложения отображений и умножения отображений на действительные числа. 6. Множество всех комплексных чисел есть векторное пространство над полем действительных чисел . ВОПРОС № 5 Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность. Координаты вектора.
Опр.1. Пусть - векторное пространство над полем Р. Совокупность векторов пространства называется базисом пространства , если: 1) - линейно независимая система векторов; 2) любой вектор пространства линейно выражается через векторы , т.е. . Теорема 1. Если пространство над полем Р имеет базис, то любые 2 базиса пространства содержат одинаковое число векторов. Доказательство: Пусть и - 2 базиса пространства . Допустим, что , тогда имеем: каждый вектор системы (1) линейно выражается через векторы системы (2), т.к. (2) - базис. А тогда, по свойствам линейной зависимости, имеем, что (1) - линейно зависима, что противоречит тому, что (1) - базис . Значит . Аналогичное противоречие получим, если допустим, что , значит . Итак, ▲. Теорема 2. Если пространство имеет базис, состоящий из п векторов, то любая линейно независимая система, содержащая п векторов, также образует базис пространства . Доказательство: Пусть - базис пространства , а - произвольная линейно независимая система векторов. Покажем, что система (2) - базис . Для этого надо показать, что (2) удовлетворяет второму условию определения базиса, т.е. что любой вектор пространства линейно выражается через векторы системы (2). Пусть , добавим его к системе (2), получим систему . Так как (1) - базис , то любой вектор пространства , а значит любой вектор системы (3) линейно выражается через вектора системы (1), а тогда х линейно выражается через векторы системы (2). ▲. Опр.2. Если пространство имеет базис, то называется конечномерным, а число векторов в любом базисе называется размерностью пространства и обозначается . В противном случае называется бесконечномерным. Если - конечномерное и , то называют также п-мерным векторным пространством. В п-мерном векторном пространстве любая система векторов, содержащая более чем п векторов, линейно зависима. А в бесконечномерном векторном пространстве можно найти систему из любого числа линейно независимых векторов. Примеры: 1. - п-мерное пространство. Базис - . 2. - пространство матриц размера над полем Р - конечномерное пространство, размерность , базисом, например, будут векторы , ,…, , ,…, где е - единичный элемент поля Р. 3. - пространство многочленов от одной переменной х над полем Р, бесконечномерно, т.к. можно найти линейно независимую систему векторов, состоящую из п векторов - . 4. - пространство многочленов от одной переменной х над полем Р степени не выше п; конечномерно, размерности . Базис, например, . 5. Множество всех комплексных чисел есть векторное пространство над полем действительных чисел размерности 2; базис, например, . 6. Любое поле Р есть векторное пространство над самим собой размерности 1; базис, например, единица е поля Р. Координаты вектора Опр.3. Пусть - п-мерное векторное пространство над полем Р; - базис Тогда . Коэффициенты этого разложения называют координатами вектора х в базисе . Легко показать, что справедливо следующее предложение: Предложение: Координаты любого вектора в данном базисе конечномерного векторного пространства определяются однозначно. Доказательство: Допустим, что некоторый вектор х пространства имеет 2 разложения по базисным векторам : . Т.е. разложение единственно. ▲.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (653)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |