П. 3. Делимость многочленов
Пусть - кольцо многочленов одной переменной х над полем Р. Опр.3. Пусть . Говорят, что делится на (и пишут ), если . Свойства делимости многочленов: 1) . 2) . Так как . 3) . Теорема 2 (о делении многочленов с остатком). Для любых многочленов существуют единственные многочлены такие, что , при этом или . (Знать определение степени многочлена, высшего (старшего) члена многочлена). Доказательство: 1. Возможность деления с остатком. Пусть , . 1 случай. Если или , то и существование представления доказано. 2 случай. Пусть теперь , , . Рассмотрим многочлен . , так как многочлены и имеют одинаковые высшие члены , которые при вычитании взаимно уничтожаются. Если или , то процесс закончен и искомое представление . Пусть теперь и старший коэффициент многочлена равен , то строим многочлен . Аналогично устанавливаем, что . Если или , то процесс закончен. Пусть теперь , старший коэффициент равен . Строим многочлен . . И так далее… Получим многочлены , степени которых, являясь целыми неотрицательными числами, удовлетворяют неравенствам: Следовательно, через конечное число шагов получим такой многочлен , что или . . Сложив почленно равенства , , ,…, , получим
. То есть , возможность деления с остатком доказана. 2. Единственность деления с остатком. Допустим, что , где или , где или Отсюда имеем: Если , то есть , то так как , то из равенства имеем, что и единственность деления с остатком доказана. Пусть теперь . Тогда из равенств . Если при этом , то . Значит и . Единственность деления с остатком доказана. ▲. Пример: Разделить многочлен на . Значит .
ВОПРОС № 12 Алгоритм Евклида для целых чисел и для многочленов. НОД и НОК.
Опр.1. Пусть - целые числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля. Наибольшим общим делителем чисел а1,…,аk называется такое целое число , что: 1) ; 2) - общий делитель этих чисел (то есть ). 3) делится на любой общий делитель чисел . Обозначается НОД чисел так: . Теорема 1. Если НОД целых чисел существует, то он определяется однозначно. Доказательство: Пусть и . Так как - общий делитель , а - их НОД, то . Так как - общий делитель , а - их НОД, то . А так как , , то из и . ▲. Теорема 2. НОД целых чисел равен НОД их модулей, то есть . Поэтому в дальнейшем можно рассматривать НОД натуральных чисел.
Алгоритм Евклида Опишем способ отыскания НОД двух натуральных чисел, который носит название «алгоритм Евклида». Пусть . Делим на с остатком: , . Если , то процесс закончен и . Если , то делим на с остатком: , . Если , то процесс закончен, если , делим на : , . Поскольку остатки, являясь неотрицательными целыми числами, убывают, то процесс деления оборвётся и на каком-то шаге мы получим остаток, равный нулю. Пусть , . Теорема 3. Последний, отличный от нуля, остаток в алгоритме Евклида, составленном для чисел , является наибольшим общим делителем чисел . Доказательство: Пусть - последний отличный от нуля остаток, тогда: 1) . 2) Покажем, что - общий делитель чисел . Для этого рассмотрим последовательно равенства алгоритма Евклида, начиная с последнего. Из этого равенства следует, что , кроме того, . Тогда , то есть ; затем получим, что и т.д. И, наконец, из второго и первого равенств имеем, что и . 3) Покажем, что делится на любой общий делитель чисел . Для этого рассмотрим равенства алгоритма, начиная с первого. Пусть - произвольный общий делитель чисел , то есть и , то есть то есть и т.д. И, наконец, . Число удовлетворяет всем условиям определения НОД чисел . ▲. Следующая теорема даёт способ отыскания НОД нескольких целых чисел. Теорема 4. Если , , …, , то .
НОК целых чисел Опр.2. Общим кратным целых, отличных от нуля чисел называется целое число с, которое делится на каждое из чисел , то есть . Опр.3. Целое число т называется наименьшим общим кратным целых, отличных от нуля чисел , если: 1) ; 2) т есть общее кратное чисел ; 3) любое общее кратное чисел делится на число т. Обозначается НОК чисел так: . Теорема 5. Если НОК целых чисел существует, то оно единственно. Теорема 6. НОК целых чисел равно НОК их модулей. Доказательства теорем 5 и 6 аналогичны доказательствам теорем 1 и 2. Теорема 6 позволяет рассматривать НОК только натуральных чисел. Следующая теорема даёт способ отыскания НОК двух натуральных чисел: Теорема 7. . Доказательство: покажем, что число удовлетворяет всем трём условиям определения НОК целых чисел. 1) Во-первых, , так как . 2) Покажем, что число есть общее кратное чисел . Обозначим , причем числа взаимно просты, то есть . Теперь имеем: . 3) Покажем, что любое общее кратное чисел делится на число . Пусть т – произвольное общее кратное чисел , то есть . . Но , тогда
. Теперь имеем: . Следовательно, . ▲. Следующая теорема позволяет находить НОК нескольких чисел: Теорема 8. Если , , , …, , то .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1505)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |