Проверка статистической гипотезы о законе распределения

При проверке статистической гипотезы о законе распределения H₀ всегда формулируется следующим образом: генеральная совокупность распределена по закону, например, нормальному, а H₁: генеральная совокупность не распределена по закону, например, нормальному.

Выбор H₀ осуществляется, как правило, путём сравнения полигона и гистограммы выборки с графиками функций частных теоретических законов распределения.

Проверка H₀ проводится с использованием специально подобранной СВ, представляющей собой меру расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями, называмой в этом случае критерием согласия.

Критерии согласия не доказывают справедливость гипотезы, а лишь устанавливают для принятого значения её согласие или несогласие с данными наблюдений.

Имеется несколько примеров согласия: («хи квадрат»), Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Рассмотрим применение критерия Пирсона к проверке гипотезы о законе распределения генеральной совокупности.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объёмом n и получено статистическое распределение. Объём выборки должен быть достаточно велик ( ), частоты n_i , должны быть не менее 5.

В качестве критерия согласия Пирсона примем СВ

, (5.40)

где – теоретическая частота, частота, вычисленная в предположении закона распределения, сформулированного в H₀.

, (5.41)

где – вероятность наблюдаемого значения ДСВ X, вычисленная при допущении, что ДСВ X имеет распределение, сформулированное в H₀.

или – вероятность попадания НСВ X в i-й частичный интервал, вычисленная при допущении, что НСВ X имеет распределение, сформулированное в H₀.

Величина имеет распределение «хи квадрат» со степенями свободы

, (5.42)

где k – число вариант для ДСВ X или интервалов для НСВ X в выборочной совокупности;

d – число наложеных связей, число параметров, определённых по опытным данным. Для нормального распределнеия d=2, для показательного распределения d=1, для распределения Пуассона d=1.

Т. к. относторонний критерий более «жёстко» отвергает H₀, чем двусторонний, строим правостороннюю критическую область, для которой критическую точку определяем по таблице критических точек распределения по заданному и вычисленному r.

Используя статистчиеское распределение, по формуле (5.40) вычисляем наблюдаемое значение критерия согласия Пирсона . Если – нет оснований отвергнуть H₀.

Если – H₀ отвергают.

Пример.В. Е.Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика», стр. 332.