Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений

Пусть количество наблюдений на каждом из уровней одинакова и равна , тогда общее число наблюдаемых значений признака равно .

Индекс - номер испытания

- номер фактора

Результаты наблюдений представлены в таблице.

Номер испытания	Уровни фактора
		…
. . .	. . .	. . .	… … . . . …	. . .
Групповая средняя			…

Общая сумма квадратов отклоненийнаблюдаемых значений от общей средней ,

(8.1)

Факторная сумма квадратов отклоненийгрупповых средних от общей средней, характеризующая рассеяние «между группами»

(8.2)

Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней, которая характеризует рассеяние «внутри групп»

(8.3)

(8.4)

 

Формулы (8.1) – (8.2) можно преобразовать к формулам, более удобным для расчетов

(8.5)

(8.6)

где

.

Для упрощения вычислений можно воспользоваться условными вариантами , где примерно равно общей средней.

Тогда (8.5) - (8.6) примут вид

(8.7)

(8.8)

где ,

Пусть число испытаний на различных уровнях различно, а именно: произведено испытаний на уровне , - на - на .

В этом случае

(8.9)

где ,

,

- объем выборки

Или

(8.10)

где ;

;

, (8.11)

(8.12).

 

Общая, факторная и остаточная дисперсии.

 

Разделив суммы квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы, получим общую, факторную и остаточную дисперсии.

Если число испытаний на каждом уровне одинаковое

 

(8.13)

Если число испытаний на каждом уровне различно

(8.14)

 

 

Применение метода дисперсионного анализа

Пусть ГС распределены нормально и имеют одинаковую, хотя и неизвестную, дисперсию; МО также неизвестны, но могут быть различными. Требуется при заданном по выборочным средним проверить гипотезу :

о равенстве всех МО. Другими словами требуется установить, значимо или незначимо, различаются выборочные средние.

Для того, чтобы проверить эту гипотезу, достаточно проверить по критерию Фишера-Снедекера гипотезу : , если рассчитано, что .

Если изначально , то отсюда следует справедливость гипотезы о равенстве групповых средних.

При проверке гипотезы о равенстве и , если установлено, что они различаются значимо, то фактор оказывает существенное влияние на СВ . А значит выборочные средние различаются также значимо.

Если же установлено, что и различаются незначимо, то гипотеза о равенстве средних не отвергается. При этом совокупности можно считать однородными.

Пример.

Произведено 10 испытаний, из них 4 – на первом уровне, 4 – на втором и 2 – на третьем. Результаты испытаний приведены в таблице. Методом дисперсионного анализа проверить гипотезу о равенстве групповых средних при уровне значимости . Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

 

Номер испытания	Уровни фактора

Решение

Для упрощения расчетов вычтем из каждого наблюдаемого значения .

Составим расчетную таблицу.

 

Номер испытания	Уровни фактора	Итоговый столбец
	-24 -20 -16 -28		-2
	-88

 

гипотезу о равенстве средних не отвергаем: групповые средние отличаются незначимо.