Задание множества совокупностью уравнений/неравенств

Определение. Будем говорить, что совокупность уравнений или неравенств задает фигуру Ф, если:

(1) Координаты любой точки фигуры Ф являются решением хотя бы одного уравнения (неравенства) данной совокупности;

(2) Любая точка, координаты которой являются решением одного из уравнений (неравенств) данной совокупности, принадлежит фигуре Ф.

Замечание (О равносильных преобразованиях).

Два уравнения (неравенства, системы уравнений/неравенств, совокупности уравнений/неравенств) называются равносильными (на некотором множестве значений переменных), если они задают одно и тоже множество.

Пример. Пусть на плоскости задана декартова система координат.

Докажем, что уравнение |x| + |y| = 1 задает границу квадрата, вершины которого – точки (1,0), (-1,0), (0,1) и (0,-1).

Система (a) на плоскости задает отрезок прямой y = - x + 1 в первой четверти (включая оси); система (b) задает на плоскости отрезок прямой y = x + 1 во второй четверти (включая ось (Oy)); система (c) задает на плоскости отрезок прямой y = x - 1 в четвертой четверти (включая ось (Ox)); система (d) задает на плоскости отрезок прямой y = - x - 1 в третьей четверти (не включая оси).

РИС. 33

Аналитическое задание прямой на плоскости

Пусть на плоскости зафиксирована декартова система координат.

Общее уравнение прямой.

Определение. Ненулевой вектор ортогональный любому направленному отрезку, лежащему на прямой, будем называть вектором нормали к данной прямой.

Пусть l – прямая, вектор = (A,B) – вектор нормали к прямой l, и пусть точка M₀(x₀, y₀) принадлежит прямой l.

Для любой точки M(x,y) прямой l вектор ортогонален направленному отрезку , то есть скалярное произведение и равно нулю: × = 0. Запишем последнее равенство в координатах: A(x - x₀) + B (y - y₀) = 0. Итак, для координат точки M справедливо равенство: Ax + By + C = 0 (*), где C = -Ax₀ -By₀ .

РИС. 34 (1,2)

Возьмем теперь точку N(x,y), координаты которой удовлетворяют равенству (*), то есть Ax + By + C = 0. Так как C = -Ax₀ - By₀ , то A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0.

Так как = (x - y₀, y - y₀), то последнее равенство означает, что = 0, то есть ^ , значит точка N лежит на прямой l (так как через данную точку проходит единственная прямая перпендикулярная данной прямой).

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Любая прямая на плоскости в декартовой системе координат может быть задана уравнением вида Ax + By + C = 0 (A² + B² ≠ 0), где (A,B) – координаты вектора нормали к этой прямой.

Докажем теперь и обратное (то есть, что линейное уравнение в декартовой системе координат задает некоторую прямую).

Теорема. Любое уравнение вида Ax + By + C = 0 (A² + B² ≠ 0) на плоскости в декартовой системе координат задает некоторую прямую, при этом (A,B) – координаты вектора нормали к этой прямой.

Доказательство.

Уравнение вида Ax + By + C = 0 (A² + B² ≠ 0) имеет хотя бы одно решение.

Пусть M₀(x₀, y₀) - точка такая, что (x₀, y₀) - решение уравнения Ax + By + C = 0, то есть Ax₀ + By₀ + C = 0.

Вектор = (A, B) - не нулевой.

Существует прямая, проходящая через точку M₀, для которой - вектор нормали. По предыдущей теореме эта прямая задается уравнением Ax + By + C = 0.

Замечания.

1) Можно доказать, что и в аффинной системе координат на плоскости любая прямая задается линейным уравнением, и наоборот, любое линейное уравнение задает прямую; но для произвольной аффинной системы координат коэффициенты в линейном уравнении не будут задавать вектор нормали к прямой.

2) Линейных уравнений, которые задают данную прямую в данной декартовой системе координат, бесконечно много (ясно, что уравнения Ax + By + C = 0 и lAv + lBy + lC = 0, где l ≠ 0, задают одну и ту же прямую).

Определение. Уравнение вида Ax + By + C = 0 (A² + B² ≠ 0) будем назвать общим уравнением прямой.