Аналитическое задание плоскости в пространстве

 

Определение. Вектором нормали к плоскости будем называть ненулевой вектор, любой представитель которого перпендикулярен данной плоскости.

 

Замечание. Ясно, что если хотя бы один представитель вектора перпендикулярен плоскости, то и все остальные представители вектора перпендикулярны этой плоскости.

 

Пусть в пространстве задана декартова система координат.

Пусть дана плоскость a, = (A, B, C) – вектор нормали к этой плоскости, точка M (x₀, y₀, z₀) принадлежит плоскости a.

 

РИС. 39

 

Для любой точки N(x, y, z) плоскости a векторы и ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: = 0. Запишем последнее равенство в координатах: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.

Пусть -Ax₀ - By₀ - Cz₀ = D, тогда Ax + By + Cz + D = 0.

 

Возьмем точку К (x, y) такую, что Ax + By + Cz + D = 0. Так как D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀, то A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0. Так как координаты направленного отрезка = (x - x₀, y - y₀, z - z₀), то последнее равенство означает, что ^ , и, следовательно, K Î a.

 

Итак, мы доказали следующую теорему:

 

Теорема. Любую плоскость в пространстве в декартовой системе координат можно задать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² ≠ 0), где (A, B, C) – координаты вектора нормали к этой плоскости.

 

Верно и обратное.

 

Теорема. Любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² ≠ 0) в декартовой системе координат задает некоторую плоскость, при этом (A, B, C) – координаты вектора нормали к этой плоскости.

Доказательство.

Возьмем точку M (x₀, y₀, z₀) такую, что Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0 и вектор = (A, B, C) ( ≠ q).

Через точку M перпендикулярно вектору проходит плоскость (и при том только одна). По предыдущей теореме эта плоскость задается уравнением Ax + By + Cz + D = 0.

 

Определение. Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² ≠ 0) называется общим уравнением плоскости.

 

Пример.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (0,2,4), N (1,-1,0) и K (-1,0,5).

1. Найдем координаты вектора нормали к плоскости (MNK). Так как векторное произведение ´ ортогонально не коллинеарным векторам и , то вектор коллинеарен ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Итак, в качестве вектора нормали возьмем вектор = (-11, 3, -5).

2. Воспользуемся теперь результатами первой теоремы:

уравнение данной плоскости A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0, где (A, B, C) – координаты вектора нормали, (x₀, y₀, z₀) – координаты точки лежащей в плоскости (например, точки M).

-11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

-11x + 3y – 5z + 14 = 0

Ответ: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

 

Упражнения.

1) Напишите уравнение плоскости, если

(1) плоскость проходит через точку M (-2,3,0) параллельно плоскости 3x + y + z = 0;

(2) плоскость содержит ось (Ox) и перпендикулярна плоскости x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Напишите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

 

§ 28. Аналитическое задание полупространства*

 

Замечание*. Пусть фиксирована некоторая плоскость. Под полупространством мы будем понимать множество точек, лежащих по одну сторону от данной плоскости, то есть две точки лежат в одном полупространстве, если отрезок, их соединяющий, не пересекает данную плоскость. Данная плоскость называется границей этого полупространства. Объединение данной плоскости и полупространства будем называть замкнутым полупространством.

 

Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат.

 

Теорема. Пусть плоскость a задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Тогда одно из двух полупространств, на которые плоскость a делит пространство, задается неравенством Ax + By + Cz + D > 0, а второе полупространство задается неравенством Ax + By + Cz + D < 0.

Доказательство.

Отложим вектор нормали = (A, B, С) к плоскости a от точки M (x₀, y₀, z₀), лежащей на данной плоскости: = , M Î a, MN ^ a. Плоскость делить пространство на два полупространства: b₁ и b₂. Ясно, что точка N принадлежит одному из этих полупространств. Без ограничения общности будем считать, что N Î b₁.

РИС. 40

 

Докажем, что полупространство b₁ задается неравенством Ax + By + Cz + D > 0.

1) Возьмем точку K(x,y,z) в полупространстве b₁. Угол Ð NMK – угол между векторами и - острый, поэтому скалярное произведение этих векторов положительно: > 0. Запишем это неравенство в координатах: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) > 0, то есть Ax + By + Cy - Ax₀ - By₀ - C z₀ > 0.

Так как M Î b₁, то Ax₀ + By₀ + C z₀ + D = 0, поэтому -Ax₀ - By₀ - C z₀ = D. Следовательно, последнее неравенство можно записать так: Ax + By + Cz + D > 0.

 

2) Возьмем точку L(x,y) такую, что Ax + By + Cz + D > 0.

Перепишем неравенство, заменив D на (-Ax₀ - By₀ - C z₀) (так как M Î b₁, то Ax₀ + By₀ + C z₀ + D = 0): A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) > 0.

Вектор с координатами (x - x₀ ,y - y₀, z - z₀) – это вектор , поэтому выражение A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) можно понимать, как скалярное произведение векторов и . Так как скалярное произведение векторов и положительно, то угол между ними острый и точка L Î b₁.

Аналогично можно доказать, что полупространство b₂ задается неравенством Ax + By + Cz + D < 0.

 

Замечания.

1) Ясно, что доказательство, приведенное выше, не зависит от выбора точки M в плоскости a.

2) Ясно, что одно и то же полупространство можно задать различными неравенствами.

 

Верно и обратное.

 

Теорема. Любое линейное неравенство вида Ax + By + Cz + D > 0 (или Ax + By + Cz + D < 0) (A² + B² + C² ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Доказательство.

Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² ≠ 0) в пространстве задает некоторую плоскость a (см. § …). Как было доказано в предыдущей теореме одно из двух полупространств, на которые плоскость делит пространство задается неравенством Ax Ax + By + Cz + D > 0.

 

Замечания.

1) Ясно, что замкнутое полупространство можно задать нестрогим линейным неравенством, и любое нестрогое линейное неравенство в декартовой системе координат задает замкнутое полупространство.

2) Любой выпуклый многогранник можно задать как пересечение замкнутых полупространств (границы которых – это плоскости, содержащие грани многогранника), то есть аналитически – системой линейных нестрогих неравенств.

 

Упражнения.

1) Докажите две представленные теоремы для произвольной аффинной системы координат.

2) Верно ли обратное, что любая ли система нестрогих линейных неравенств задает выпуклый многоугольник?

3) Задайте тетраэдр ABCD системой линейных неравенств, если A (2,-3, -1), B (5, 0,1), C (0,-3, -2), D(0, 0, 2).