Вычисление угла между прямыми в пространстве

Пусть в пространстве зафиксирована декартова система координат, и пусть две прямые l₁и l₂ заданы каноническими уравнениями:

l₁ : = = l₂: = = .

По данным уравнениям для каждой прямой мы можем легко определить направляющий вектор: t₁ = (m₁, n₁, k₁) - направляющий вектор прямой l₁,

t₂ = (m₂, n₂, k₂) - направляющий вектор прямой l₂.

Угол между прямыми равен углу между векторами t₁ и t₂ или составляет с ним в сумме p, так что косинусы этих углов равны по модулю и cos j = (где j - угол между прямыми l₁и l₂).

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть в декартовой системе координат определены направляющие векторы прямых l₁и l₂: t₁ = (m₁, n₁, k₁) - направляющий вектор прямой l₁, t₂ = (m₂, n₂, k₂) - направляющий вектор прямой l₂. Тогда cos j = , где j - угол между прямыми l₁и l₂.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть две прямые l₁и l₂ заданы каноническими уравнениями:

l₁ : = = l₂: = = .

По данным уравнениям для каждой прямой мы можем легко определить точку, лежащую на прямой, и направляющий вектор:

M₁(x₁, y₁, z₁) - точка на прямой l₁, t₁ = (m₁, n₁, k₁) - направляющий вектор прямой l₁,

M₂(x₂, y₂, z₂) - точка на прямой l₂, t₂ = (m₂, n₂, k₂) - направляющий вектор прямой l₂.

Две прямые в пространстве могут совпадать, бать параллельными, пересекаться в точке, скрещиваться.

1 случай. Прямые l₁и l₂ совпадают Û t₁|| t₂ и || t₂ , то есть координаты векторов t₁, t₂ и пропорциональны Û t₁ ´ t₂ = q и ´ t₂= q.

2 случай. Прямые l₁и l₂ параллельны Û t₁|| t₂ , а векторы и t₂ не коллинеарны, то есть координаты векторов t₁и t₂ пропорциональны, а координаты векторов и t₂ не пропорциональны Û t₁ ´ t₂ = q и ´ t₂ ≠ q.

3 случай. Прямые l₁и l₂ пересекаются в точке Û векторы t₁и t₂ не коллинеарны, но векторы t₁, t₂ и компланарны Û t₁ ´ t₂ ≠ q и t₁ t₂ = 0.

4 случай. Прямые l₁и l₂ скрещиваются Û Векторы t₁, t₂ и не компланарны

Û t₁ t₂ ≠ 0.

Угол между прямой и плоскостью.

Пусть прямая l задана каноническим уравнением , а плоскость a общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0.

По данным уравнениям легко определить направляющий вектор прямой - вектор = (m, n, k), и вектор нормали к плоскости - вектор = (A, B, C).

РИС. 41 (1,2)

Пусть j - угол между прямой l и плоскостью a, y - угол между векторами и .

Так как угол между прямой l и плоскостью a - это угол между прямой l и ее проекцией на плоскость a, а вектор нормали перпендикулярен любой прямой в плоскости a (то есть и проекции прямой l), то j + y = или y - j = и sin j = | cos y| = .

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема.

Пусть j - угол между прямой и плоскостью, и пусть в декартовой системе координат определены направляющий вектор прямой - вектор = (m, n, k), и вектор нормали к плоскости - вектор = (A, B, C) . Тогда sin j = .

Кривые второго порядка