Параболический цилиндр

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида (***) (где a > 0).

1) По уравнению (***) видно, что параболический цилиндр симметричен относительно координатной плоскости (yOz) и координатной оси (Oy).

2) По уравнению (***) видно, что для координат точек параболического цилиндра справедливо неравенство: y ³ 0, то есть параболический цилиндр расположен не левее плоскости (xOz).

3) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀ - константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

(плоскость (xOy) или плоскость параллельная плоскости (xOy)):

- парабола.

То есть во всех плоскостях параллельных плоскости (xOy) и в самой плоскости (xOy) сечением параболического цилиндра являются равные параболы, вершины которых лежат на оси (Oz).

4) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀ - константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- прямая - ось (Oz);

x = x₀ (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

- прямая параллельная оси (Oz)/

5) Сечения плоскостями y = y₀ (y₀ - константа).

Согласно пункту 2 достаточно рассмотреть случай y₀ ³ 0.

y = 0 (плоскость (xOz)):

Û - прямая - ось (Oz);

y = y₀ , y₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (xOz)):

Û - две прямые, параллельные оси (Oz).

РИС. 53 параболический цилиндр

Замечание.

Сечения плоскостями x = const и y = const - прямые из одного параллельного пучка, эти прямые называют прямолинейные образующими параболического цилиндра.

Конус

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 0 (ð) (где a > 0, b > 0, c > 0).

Уравнение (ð) называется каноническим уравнением конуса.

1) По уравнению (ð) видно, что конус симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀- константа).

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

z = 0 (плоскость (xOy)):

- точка (0,0,0) - начало координат;

z = z₀ , z₀ > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l² = ) - эллипс с полуосями la и lb.

При этом чем больше значение z₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси la и lb эллипса, который мы получаем в сечении.

3) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀- константа)..

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- две пересекающиеся в начале координат прямые y = в плоскости (yOz);

x = x₀ , x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l² = ) - гипербола с действительной полуосью lb и мнимой полуосью lc (асимптоты гиперболы - это прямые z = y в плоскости x = x₀).

При этом, чем больше значение x₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси lb и lc гиперболы, тем дальше вершины гиперболы друг от друга.

4) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен п. 3, рассмотреть самостоятельно)

РИС. 55. конус

Замечания.

1) При a = b конус является конусом вращения (сечения, рассмотренные в п 2, будут окружностями), и получается вращением прямой y = z, лежащей в плоскости (yOz), вокруг оси (Oz).

2) Через каждую точку конуса проходит ровно одна прямая, которая лежит на конусе (докажите самостоятельно) Прямую, лежащую на конусе, называют прямолинейной образующей конуса.