Каноническое уравнение прямой

(уравнение прямой по двум данным точкам).

 

Пусть известны две различные точки M₀(x₀, y₀) и М₁(x₁, y₁) лежащие на прямой l.

 

Для любой точки M(x,y) прямой l направленные отрезки и коллинеарны, то есть их координаты пропорциональны: = (***)

 

 

Возьмем теперь точку N(x,y), координаты которой удовлетворяют равенству (***), тогда направленные отрезки и будут коллинеарными (так как их координаты пропорциональны), значит точка N лежит на прямой l (так как через данную точку проходит единственная прямая перпендикулярная данной прямой).

Заметим, что направленный отрезок является представителем направляющего вектора прямой, то есть координаты направленного отрезка = (x₁- x₀, y₁ -y₀) – это координаты направляющего вектора прямой.

 

Итак, мы доказали следующую теорему:

 

Теорема. Любая прямая на плоскости в декартовой системе координат может быть задана уравнением вида (m² + n² ≠ 0) (****), где (m, n) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

 

Докажем теперь и обратное.

 

Теорема. Любое уравнение вида (m² + n² ≠ 0)на плоскости в декартовой системе координат задает некоторую прямую, при этом (m, n) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

Доказательство.

Заметим, что (x₀, y₀) - это решение уравнения (****).

Существует прямая с направляющим вектором = (m,n), проходящая через точку M₀(x₀, y₀). По предыдущей теореме такая прямая задается системой (****).

Определение. Уравнение вида (m² + n² ≠ 0) будем назвать каноническим уравнением прямой.

 

Замечание (О видах уравнений прямой на плоскости).

Существует много других видов уравнений и способов аналитического задания прямой на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, уравнение в отрезках, нормальное уравнение и т.д. Как правило, эти уравнения являются частным случаем рассмотренных выше трех уравнений, или же сводятся к ним.

 

Упражнения.

1) Какие из точек A(0,-3), B(2,1), C(5,4), D(1,1), O(0,0) лежат на прямой, заданной уравнением: (1) 2x + 5y -9 = 0; (2) ; (3) ; (4) 4x – 5y = 0?

2) Напишите все три вида уравнения прямой l, если известно, что:

1) Прямая l проходит через точку M (-1, 3) перпендикулярно вектору = (2,5);

2) Прямая l проходит через точку M (2,2) параллельно вектору = (-1,5);

3) Прямая l проходит через точку M (2,2) и точку N(-4,5);

4) Прямая l проходит через точку M (2,-1) параллельно прямой m, которая задана уравнением x + 4y – 5 = 0;

5) Прямая l проходит через точку M (0,0) перпендикулярно прямой m, которая задана уравнением x + 4y – 5 = 0;

6) Прямая l проходит через точку M (2,-1) параллельно прямой m, которая задана уравнением ;

7) Прямая l содержит середины сторон AB и AC треугольника ABC, где A (1,1), B (2, 3),

C (5,0);

8) Прямая l проходит через высоту AH треугольника ABC, где A (1,1), B (2, 3), C (5,0);

9) Прямая l проходит через биссектрису CK треугольника ABC, где A (1,1), B (2, 3),

C (5,0);

10) Прямая l проходит через точку M (2,-1) под углом к положительному направлению оси (Ox).

§ 24. Аналитическое задание полуплоскости* (на плоскости)

 

Замечание*. Пусть фиксирована некоторая прямая. Под полуплоскостью мы будем понимать множество точек, лежащих по одну сторону от данной прямой, то есть две точки лежат в одной полуплоскости, если отрезок, их соединяющий, не пересекает данную прямую. Данная прямая называется границей этой полуплоскости. Объединение данной прямой и полуплоскости будем называть замкнутой полуплоскостью.

 

Пусть на плоскости фиксирована декартова система координат.

 

Теорема. Пусть прямая l задана общим уравнением Ax + By + C = 0. Тогда одна из двух полуплоскостей, на которые прямая l делит плоскость, задается неравенством Ax + By + C > 0, а вторая полуплоскость задается неравенством Ax + By + C < 0.

Доказательство.

Отложим вектор нормали = (A, B) к прямой l от точки M (x₀, y₀), лежащей на данной прямой: = , M Î l, MN ^ l. Прямая l делить плоскость на две полуплоскости: a и b. Ясно, что точка N принадлежит одной из этих полуплоскостей. Без ограничения общности будем считать, что N Î a.

РИС. 36

 

Докажем, что полуплоскость a задается неравенством Ax + By + C > 0.

1) Возьмем точку K(x,y) в полуплоскости a. Угол Ð NMK – угол между векторами и - острый, поэтому скалярное произведение этих векторов положительно: > 0.

Запишем это неравенство в координатах: A(x - x₀ ) + B (y - y₀ ) > 0, то есть Ax + By - Ax₀ - By₀ >0.

Так как M Î l, то Ax₀ + By₀ + C = 0, поэтому -Ax₀ - By₀ = C. Следовательно, последнее неравенство можно записать так: Ax + By + C > 0.

2) Возьмем точку L(x,y) такую, что Ax + By + C > 0.

Перепишем неравенство, заменив С на (-Ax₀ - By₀) (так как M Î l, то Ax₀ + By₀ + C = 0):

A(x - x₀ ) + B (y - y₀ ) > 0.

Вектор с координатами (x - x₀ ,y - y₀) – это вектор , поэтому выражение A(x - x₀) + B(y - y₀ ) можно понимать, как скалярное произведение векторов и . Так как скалярное произведение векторов и положительно, то угол между ними острый и точка L Î a.

Аналогично можно доказать, что полуплоскость b задается неравенством Ax + By + C < 0.

 

Замечания.

1) Ясно, что доказательство, приведенное выше, не зависит от выбора точки M на прямой.

2) Ясно, что одну и ту же полуплоскость можно задать различными неравенствами, например, три неравенства x > 0, - x < 0, 3x > 0 задают одну и ту же полуплоскость.

 

Верно и обратное.

 

Теорема. Любое линейное неравенство вида Ax + By + C > 0 (или Ax + By + C < 0) (A² + B² ≠ 0) задает на плоскости в декартовой системе координат полуплоскость с границей Ax + By + C = 0.

Доказательство.

Уравнение Ax + By + C = 0 (A² + B² ≠ 0) на плоскости задает некоторую прямую l (см. § …). Как было доказано в предыдущей теореме одна из двух полуплоскостей, на которые прямая l делит плоскость задается неравенством Ax + By + C > 0.

 

Замечания.

1) Ясно, что замкнутую полуплоскость можно задать нестрогим линейным неравенством, и любое нестрогое линейное неравенство в декартовой системе координат задает замкнутую полуплоскость.

2) Любой выпуклый многоугольник можно задать как пересечение замкнутых полуплоскостей (границы которых – это прямые, содержащие стороны многоугольника), то есть аналитически – системой линейных нестрогих неравенств.

 

Упражнения.

1) Докажите две представленные теоремы для произвольной аффинной системы координат.

2) Верно ли обратное, что любая ли система линейных нестрогих неравенств задает выпуклый многоугольник?

3) Задайте треугольник ABC системой линейных неравенств, если A (2,-3), B (0,1), C (-3, -2).