Второго порядка с правыми частями специального типа
Линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:
, где и – постоянные коэффициенты. Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка находится по формуле:
, (1) где – общее решение однородного дифференциального уравнения; – частное решение, определенное видом правой части неоднородного уравнения, то есть функции .
Таким образом, чтобы найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения нужно: 1) найти общее решение соответствующего однородного уравнения; 2) найти любое частное решение неоднородного уравнения; 3) найденные решения сложить, найденная сумма и будет общим решением неоднородного уравнения.
Рассмотрим несколько случаев нахождения частных решений неоднородного дифференциального уравнения со специальными правыми частями. 1. Пусть в правой части уравнения функция , где – многочлен -й степени. В этом случае возможны такие ситуации: а) число не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение находится в виде: , (2) где – полный многочлен той же степени, что и . Коэффициенты этого многочлена неизвестны и находятся при подстановке решения в неоднородное уравнение в результате приравнивания коэффициентов, которые стоят при одинаковых степенях в левой и правой частях уравнения. В этом заключается суть метода неопределенных коэффициентов;
б) число совпадает с одним из корней характеристического уравнения: .Тогда частное решение находится в виде: ; (3)
в) число совпадает с двукратным корнем характеристического уравнения: .Тогда частное решение находится в виде: . (4) Пример 4. Найти решение дифференциального уравнения , которое удовлетворяет начальным условиям: ; . Решение. Определим общее решение данного дифференциального уравнения. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение, поэтому его общее решение состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. Найдем общее решение однородного уравнения: . Составим его характеристическое уравнение: . Это уравнение имеет разные действительные корни: ; , которым соответствуют два частных решения однородного уравнения: и . Общее решение однородного уравнения имеет вид: .
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения применим метод неопределенных коэффициентов. Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде: . Для нахождения неизвестного коэффициента подставим функцию и ее производные: и в исходное неоднородное уравнение. Имеем: , откуда . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения запишется так: . Найдем частное решение неоднородного уравнения при начальных условиях: ; . Подставим: , , в выражения для и . Если , то получим: , или .
Откуда: , . Тогда искомое частное решение: . Если правая часть уравнения имеет вид: , то частное решение этого уравнения может быть найдено, как сумма частных решений уравнений: и . То есть .
Пример 5. Найти общее решение уравнения:
. Решение. Записав характеристическое уравнение: , находим его корни: . Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: . Правая часть данного уравнения является суммой:
, где , .
Следовательно частное решение , а именно: . Взяв первую и вторую производные от функции и подставив их и саму функцию в исходное уравнение, получим: .
Приравняем коэффициенты у подобных членов обеих частей полученного соотношения. Получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов: ,
решением которой являются:
, , . Следовательно, .
Таким образом, общее решение имеет вид: .
2. Рассмотрим уравнение, которое имеет в правой части:
, где – постоянные.
При таком виде функции могут быть два случая: а) не являются корнями характеристического уравнения. Тогда частное решение имеет вид:
, где определяются в результате приравнивания коэффициентов при и в левой и правой частях уравнения при подстановке в это уравнение частного решения и его первой и второй производных;
б) совпадают с корнями характеристического уравнения. В этом случае: .
При нахождении частного решения линейного неоднородного уравнения предлагаем пользоваться табл. 1.
Таблица 1
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1252)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |