Вычисление с помощью знакоположительных рядов

Пример 10. Вычислить число с точностью до 0,001.

Решение.

В ряд для функцїї подставим . Получим:

Оценим погрешность, которая возникает при замене суммы ряда суммой первых членов. Запишем очевидное неравенство:

,

то есть 2< <3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа: , .

По условию задачи нужно найти n такое, чтобы выполнялось неравенство: или .

Легко проверить, что при n = 6: .

Следовательно, .

Отсюда

Пример 11. Вычислить с точностью 0,0001.

Решение.

Заметим, что для вычисления логарифмов можно было бы применить ряд для функции , но этот ряд очень медленно сходится и для достижения заданной точности нужно было бы взять 9999 членов! Поэтому для вычисления логарифмов, как правило, используется ряд для функции , который сходится на интервале .

Вычислим с помощью этого ряда. Пусть , тогда .

Следовательно, ,

или .

Для того, чтобы вычислить с заданной точностью, возьмем сумму первых четырех членов: .

Остаток ряда отбросим. Оценим погрешность. Очевидно, что

или .

Отсюда

Таким образом, в ряду, который был использован для вычисления, достаточно было взять только четыре первые слагаемые вместо 9999 в ряду для функции .

Лекция 17. Элементы финансовой математики

Общие положения финансовой математики

Условно методы финансовой математики делятся на две категории: базовые и прикладные.

К базовым методам и моделям относятся:

1) простые и сложные проценты как основа операций, связанных с наращением или дисконтированием платежей;

2) расчет последовательностей (потоков) платежей применительно к различным видам финансовых рент.

К прикладным методам финансовых расчетов относятся:

1) планирование и оценка эффективности финансово-кредитных

операций;

2) расчет страховых аннуитетов;

3) планирование погашения долгосрочной задолженности;

4) планирование погашения ипотечных ссуд и потребительских кредитов;

5) финансовые расчеты по ценным бумагам;

6) лизинговые, факторинговые и форфейтинговые банковские операции;

7) планирование и анализ инвестиционных проектов и др.

Основными понятиями финансовых методов расчета являются: процент – абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме;

процентная ставка – относительная величина дохода за фиксированный интервал времени, измеряемая в процентах или в виде дроби;

период начисления – интервал времени, к которому приурочена процентная ставка;

капитализация процентов – присоединение начисленных процентов к основной сумме;

наращение – увеличение первоначальной суммы в связи с капитализацией;

дисконтирование – приведение стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, обычно более ранний момент времени (операция, обратная наращению).

В финансовых расчетах используются следующие виды процентных ставок:

в зависимости от базы для начисления процентов различают простые проценты (постоянная база) и сложные проценты (переменная база);

по принципу расчета различают ставку наращения – декурсивная ставка и учетную ставку – антисипативная ставка;

по постоянству значения процентной ставки в течение действия контракта – фиксированные и плавающие (фиксируется ли изменяющаяся во времени база и размер надбавки к ней - маржи).

Существуют различные способы начисления процентов от предоставления денег в долг в любой форме. Соответственно применяют

разные виды процентных ставок.

Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная и последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования.

При постоянной базе используют простые проценты, при переменной – сложные процентные ставки.