Лекция 16. Ряды Тейлора и Маклорена
Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
Покажем, что если произвольная функция задана на множестве , в окрестности точки имеет множество производных и является суммой степенного ряда: , то можно найти коэффициенты этого ряда. Подставим в степенной ряд . Тогда . Найдем первую производную функции : При : . Для второй производной получим:
При : . Продолжая эту процедуру n раз получим: . Таким образом, получили степенной ряд вида:
,
который называется рядом Тейлора для функции в окресности точки . Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена при :
Остаток ряда Тейлора (Маклорена) получается отбрасыванием от основных рядов n первых членов и обозначается как . Тогда функцию можно записать как сумму n первых членов ряда и остатка : , то есть .
Остаток обычно выражают разными формулами. Одна из них в форме Лагранжа: , где . .
Заметим, что на практике чаще используется ряд Маклорена. Таким образом, для того, чтобы записать функцию в виде суммы степенного ряда необходимо: 1) найти коэффициенты ряда Маклорена (Тейлора); 2) найти область сходимости полученного степенного ряда; 3) доказать, что данный ряд сходится к функции . Теорема 1 (необходимое и достаточное условие сходимости ряда Маклорена). Пусть радиус сходимости ряда . Для того, чтобы этот ряд сходился в интервале к функции , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: в указанном интервале. Теорема 2. Если производные любого порядка функции в некотором промежутке ограниченны по абсолютной величине одним и тем же числом M, то есть , то в этом промежутке функцию можно разложить в ряд Маклорена. Пример 1. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функцию . Решение. Находим значение функции и ее производных при . , ; , ; , ; , ; , ....................................................................................................................................... , ; Подставляем эти значения в ряд. Получаем: , или . Область сходимости . Пример 2. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки . Решение: Находим значение функции и ее производных при . , ; , ; ...........…………………………… , . Подставляем эти значения в ряд. Получаем: или . Найдем область сходимости этого ряда. По признаку Даламбера ряд сходится, если . . Следовательно, при любом этот предел менее 1, а потому область сходимости ряда будет: .
Рассмотрим несколько примеров разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций. Напомним, что ряд Маклорена: . сходится на интервале к функции . Отметим, что для разложения функции в ряд необходимо: а) найти коэффициенты ряда Маклорена для данной функции; б) вычислить радиус сходимости для полученного ряда; в) доказать, что полученный ряд сходится к функции . Пример 3.Рассмотрим функцию . Решение. Вычислим значение функции и ее производных при . . Тогда числовые коэффициенты ряда имеют вид: для любого n. Подставим найденные коэффициенты в ряд Маклорена и получим: Найдем радиус сходимости полученного ряда, а именно: . Следовательно, ряд сходится на интервале . Этот ряд сходится к функции при любых значениях , потому что на любом промежутке функция и ее производные по абсолютной величине ограничены числом . Пример 4. Рассмотрим функцию . Решение. Найдем значение функции и ее производных при : Нетрудно заметить, что производные четного порядка , а производные нечетного порядка . Подставим найденные коэффициенты в ряд Маклорена и получим разложение: Найдем интервал сходимости данного ряда. По признаку Даламбера: . для любого . Следовательно, ряд сходится на интервале . Этот ряд сходится к функции , потому что все ее производные ограничены единицей. Пример 5. . Решение. Найдем значение функции и ее производных при : Таким образом, коэффициенты данного ряда: и , следовательно: Аналогично с предыдущим рядом область сходимости . Ряд сходится к функции , потому что все ее производные ограничены единицей. Обратим внимание, что функция нечетная и разложение в ряд по нечетным степеням, функция – четная и разложение в ряд по четным степеням. Пример 6.Биномиальный ряд : . Решение. Найдем значение функции и ее производных при : Отсюда видно, что: Подставим эти значения коэффициентов в ряд Маклорена и получим разложение данной функции в степенной ряд: Найдем радиус сходимости этого ряда: Следовательно, ряд сходится на интервале . В предельных точках при и ряд может сходится или нет в зависимости от показателя степени . Исследованный ряд сходится на интервале к функции , то есть сумма ряда при . Пример 7.Разложим в ряд Маклорена функцию . Решение. Для разложения в ряд этой функции используем биномиальный ряд при . Получим: На основе свойства степенных рядов (степенной ряд можно интегрировать в области его сходимости) найдем интеграл от левой и правой частей данного ряда: Найдем область сходимости данного ряда: , то есть областью сходимости данного ряда является интервал . Определим сходимость ряда на концах интервала. При получим числовой ряд с общим членом . Этот ряд является гармоничным рядом, то есть расходится. При получим числовой ряд с общим членом . Ряд по признаку Лейбница сходится. Таким образом, областью сходимости данного ряда является промежуток .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (964)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |