Дифференциальные уравнения второго порядка, которые допускают понижение порядка

Рассмотрим самые простые случаи дифференциальных уравнений второго порядка, которые допускают понижение порядка.

1. Самым простым уравнением такого вида является уравнение:

,

то есть уравнение, правая часть которого зависит лишь от независимой переменной . Проинтегрировав левую и праву части уравнения, получим , где – произвольная интегрирования.

Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка имеет множество решений. Как отмечено выше, чтобы найти частное решение части, необходимо удовлетворить начальным условиям, то есть определить произвольные

Пример 1. .

Решение. Поскольку , то , то есть . Тогда . Таким образом .

Проинтегрировав обе части полученного выражения, мы получим общее решение начального уравнения: .

Пример 2. Найти частное решение , которое удовлетворяет начальным условиям , .

Решение.

Сначала ищем общее решение. Нужно последовательно проинтегрировать данное уравнение. Принимая во внимание, что имеем или . Берем интеграл от обеих частей

или

то есть

Умножим на обе части уравнения . Интегрируем

, .

Теперь нужно найти и учитывая начальные условия. По условию и тогда

.

Следовательно , . Тогда или .

2. Дифференциальное уравнение, которое допускает понижение порядка, вида: .

Правая часть уравнения не содержит в себе неизвестную функцию. В этом случае уравнение может быть решено с помощью подстановки:

, .

В результате применения этой подстановки уравнение принимает вид: , то есть его порядок снижается. Следовательно, имеем дифференциальное уравнение первого порядка.

Пример 3. .

Решение. Поскольку уравнение не содержит в себе неизвестную функцию , то для его решения используем подстановку: и . Тогда получим: .

Сделаем замену : .

Приравняв выражение, которое стоит в последнем уравнении в скобках, к нулю, мы получим: или .

Проинтегрировав левую и праву части последнего соотношения получим: . Следовательно, для нахождения неизвестной функции имеем дифференциальное уравнение:

, то есть .

Таким образом, функция равна: . Теперь найдем функцию : .

Поскольку , то имеем: .

Далее проинтегрировав обе части последнего уравнения, получим окончательное решение начального уравнения:

.

Пример 4. Найти общее решение .

Решение. Применяем замену , откуда . После этого данное уравнение приобретает вид: . Получили уравнение с разделяемыми переменными или .

Берем интеграл от обеих частей ,

или , . Откуда .

Учитывая, что имеем или , следовательно .

Интегрируем обе части последнего равенства .

Для нахождения нужно выделить целую часть, потому что подинтегральная функция есть неправильная рациональная дробь. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель.

.

Интеграл принимает вид

Таким образом ,

.

3. Уравнение, которое не содержит явно аргумент: . Правая часть уравнения в этом случае не содержит в себе независимую переменную и решение можно получить с помощью подстановки:

.

Подставляя неизвестную функцию и ее производную в начальное уравнение, получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно как функции от :

.

Пример 5. .

Решение.

Обозначив и и подставив эти выражения в начальное уравнение, получим: – дифференциальное уравнение с разделяемыми переменными. Отделив переменные, получим: .

Отсюда: ,

или , , или .

Проинтегрировав обе части полученного уравнения, получим общий интеграл начального дифференциального уравнения:

.