Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда
Степенным рядом называется ряд:
, (15.1)
членами которого являются степенные функции с возрастающими целыми показателями, числа коэффициенты данного ряда. Виражение – общий член степенного ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида:
(15.2)
Этот ряд легко привести к предыдущему, если считать . Областью сходимости степенного ряда называется множество значений , при которых степенной ряд сходится. Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится для некоторого значения , не равного нулю, то он сходится абсолютно для всех значений , для которых выполняется условие:
. (15.3)
Если степенной ряд расходится для некоторого значения , то он расходитсяся для всех значений , для которых выполняется условие:
. (15.4)
Из теоремы Абеля вытекает, что для произвольного степенного ряда существует положительное число (конечное или бесконечное), такое, что для всех ряд сходится, причем абсолютно, а при ряд расходится. Интервал , во всех точках которого степенной ряд сходится, а в точках, которые не принадлежат данному интервалу, степенной ряд расходится называется интервалом сходимости данного ряда. Половина интервала сходимости называется радиусом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости составляет всю числовую ось . Если , то степенной ряд сходится лишь при , то есть интервал сходимости вырождается в точку. Для решения вопроса о сходимости степенного ряда применяют признак Даламбера к ряду, который составлен из абсолютных величин его членов, то есть вычисляют предел:
и сравниваю ее с единицей. Множество значений для которых , образует область абсолютной сходимости степенного ряда (15.1). Множество значений , для которых , образует область расходимости. Следовательно, , а ,
где – радиус сходимости степенного ряда.
То есть, . (15.5)
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда . Решение. Обозначим , тогда . Дальше получаем: . . Последнее неравенство выполняется для любого , то есть ряд сходится на всей числовой оси: . Можно сразу найти , поскольку степенной ряд содержит все степени : . Таким образом, ряд сходится на всей числовой оси.
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .Решение. В этом степенном ряду коэффициенты при четных степенях равны нулю, то есть . Непосредственное применение признака Даламбера дает: , откуда получаем, что , следовательно . Исследуем поведение степенного ряда на концах интервала сходимости. Пусть . Подставим это значение в степенной ряд и получим числовой ряд: ,
поведение которого определяется поведением гармоничного ряда. Следовательно этот ряд расходящийся по признаку сравнения в предельной форме. Пусть . При этом значении степенной ряд превращается в числовой ряд: . Этот ряд, как уже было показано, является расходящимся. Таким образом, область сходимости ряда является интервалом . Пример 3. Найти область сходимости ряда . Решение. Обозначим . Следовательно – степенной ряд. Тогда . Для нахождения радиуса сходимости теперь можно применить формулу: . Исследуем поведение ряда на концах полученного интервала. При получим числовой ряд: . Этот ряд сходится согласно признаку Лейбница. При числовой ряд имеет вид: . Он сходится, как ряд Дирихле при . Следовательно, областью сходимости ряда будет промежуток . Возвращаясь к переменной , получим , или . Таким образом, областью сходимости данного ряда является промежуток .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1018)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |