Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признак сравнения, Даламбера, Коши, интегральный

Признак Маклорена – Коши

Ряды, члены которых не изменяют знаки в зависимости от (номера), называют знакопостоянными. Ряд называется знакоположительным, если все члены данного ряда .

Признак сравнения

Рассмотрим ряды, члены которых не изменяют знаки в зависимости от его номера . Допустим, что члены ряда .

Теорема. Пусть имеем два знакоположительных ряда:

(13.12)

(13.13)

Если для всех членов этих рядов выполняются неравенства:

, (13.14)

то из сходимости ряда с общим членом вытекает сходимость ряда , а из расходимости ряда с общим членом вытекает расходимость ряда с общим членом . Считаем, что неравенство (13.14) выполняется с , иначе конечное число членов ряда можно отбросить.

Отметим, что применяя признак сравнения, можно использовать ряд бесконечной убывающей геометрической прогрессии (13.8) как пример сходящегося ряда и гармонический ряд (13.10) как пример расходящегося ряда.

При решении задач чаще используется признак сравнения рядов в предельной форме, а именно: если существует конечный и отличающийся от нуля предел:

, (13.15)

то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Действительно, если начиная с некоторого номера выполняется условие (13.15), то для любого и к ряду с общим членом можно применить признак сравнения.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Запишем очевидное неравенство: , которое имеет место при .

Перейдем к обратному неравенству: .

Рассмотрим два ряда: и .

Ряд с общим членом сходится как бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем меньше единицы.

Следовательно, по признаку сравнения сходится и ряд с общим членом .

Пример 13.8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Для сравнения возьмем ряд с общим членом .

Тогда , следовательно ряды ведут себя одинаково, а именно данный ряд расходится, потому что ряд расходится как гармонический.

Признак Даламбера

Теорема. Пусть для ряда с знакоположительными членами существует предел:

, (13.16)

тогда:

1) если , ряд сходится;

2) если , ряд расходится;

3) если , признак не дает ответ.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Обозначим , тогда .

Найдем отношение следующего члена ряда к предыдущему:

и возьмем его предел.

Получим: .

Таким образом, по признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

, .

Запишем отношение и найдем его предел:

.

Таким образом, по признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Обозначим , тогда .

Найдем отношение и возьмем его предел:

,

то есть по признаку Даламбера ряд расходится.