Вопрос 1. Определители квадратных матриц и способы их вычисления
Лекция № 1. Вопрос 1. Основные сведения о матрицах. Матрицей размерности m×n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m– строк и n– столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элемент, стоящий на пересечении строки с номером i(i‒ той строки), i = 1, 2...m и столбца с номером j(j‒ того столбца), j = 1, 2…n – обозначается aij. Матрица обозначается заглавными буквами A,B,C…, а их элементы ‒ соответствующими прописными буквами. Am× n= Пример: A3×2 = А11 = 3 А21 = – 2 А22 = 5 А32 = –1 Виды матриц 1. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей ‒ строкой или вектором – строкой. В1×n= (b11 b12…b1n) 2. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей ‒ столбцом или вектором – столбцом. Сm×1 = 3. Матрица называется квадратной n‒ го порядка, если у нее число строк равно числу столбцов и равноn. A = – квадратная матрица третьего порядка Главная диагональ Элементы квадратной матрицы, у которых совпадает номер строки и столбца, образуют главную диагональ. Квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, а остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей. E= – единичная матрица второго порядка. E= – единичная матрица третьего порядка. Вопрос 2. Операции над матрицами и их свойства.
Произведение матрицы на число. Произведением матрицы A на число λназывается такая матрица B, каждый элемент которой находится по формуле: bij=λ × aij Пример: A= ‒ 3A= = 2. Сумма матриц. Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C, каждый элемент которой находится по формуле: (Cij= Aij +Bij), т.е. матрицы складываются поэлементно. Пример: + = = 3. Разность матриц. А ‒ В = А + (‒1) × В Пример: ‒ = = 4. Произведение матриц. Произведением матрицы Аm×lна матрицу Вl×nназывается матрица Сm×n, каждый элемент которой cijравен сумме произведений всех элементов i – ой строки матрицы A на соответствующие элементыj ‒ того столбца матрицы B. Пример: A2×3= ,А3×3 =
= = 5. Возведение в степень с натуральным показателем квадратных матриц. = A×A….A n ‒ раз. Пример: A= = = = = Транспонирование матриц. Матрица АТ (или АI) называется транспонированной к матрице A, если строки матрицы A заменены соответствующими столбцами матрицы B, т.е. при транспонировании строки и столбцы меняются местами. А3×2 = = Свойства операций. 1. Коммутативность (переместительный закон) A + B = B + A; т. е. сумма матриц коммутативна. A × B¹B × A; т. е. произведение не коммутативно.
2. Ассоциативность (сочетательный закон) A + (B + С) = (A + B) + С; A × (B × С) = (A × B) × С;
3. Дистрибутивность (распределительный закон) (A + B) × С = A×C + B×C; 4. A × E = A. ЛЕКЦИЯ № 2. Вопрос 1. Определители квадратных матриц и способы их вычисления. Определителем квадратной матрицы называется число, характеризующее эту матрицу.
Определители обозначаются двумя вертикальными чертами: │A│ или ∆ (дельта).
Определителем первого порядка квадратной матрицы первого порядка A = (а11) называется число, равное элементу этой матрицы.
│а11│= а11.
Определителем второго порядка квадратной матрицы A = называется число, вычисляемое по формуле:
Пример: = – 3 × 7 – 6 × (– 5) = – 21+30 = 9.
Определителем третьего порядка квадратной матрицы третьего порядка называется число, вычисляемое по формуле:
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (577)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |