Вопрос 1. Кривые второго порядка

К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Кривыми второго порядка называются линии, уравнение которых могут быть записаны в виде , где некоторые действительные числа, называемые коэффициентами уравнения, и, по крайней мере, один из коэффициентов или .

1) ОКРУЖНОСТЬЮ называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.

а)Окружность с центром в начале координат.

По теореме Пифагора

б)Окружность с центром в произвольной точке A₁ (x₀, y₀).

По теореме Пифагора получим уравнение окружности с центром в произвольной точке:

2) ЭЛЛИПСОМ называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, причем большая, чем расстояние между фокусами.

Из определения эллипса следует:

– расстояние между точками.

Введем обозначения – большая ось эллипса;

– малая ось эллипса,

– расстояние между фокусами,

где .

Тогда получим координаты вершин и фокусов эллипса:

(‒a; 0) (a; 0)

(0; b) (0; ‒b)

(‒c; 0) (c; 0)

Подставив полученные координаты в формулу , и воспользовавшись формулой расстояния между точками , и выполнив необходимые преобразования, получим каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния до фокуса к половине большой оси, обозначается :

<1;

У эллипса 0< <1.

У окружности = 0, поэтому эксцентриситет .

3) ГИПЕРБОЛОЙ называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, причем меньшая, чем расстояние между фокусами.

Эксцентриситет гиперболы: > 1.

Уравнения асимптот гиперболы (PL) и (NK):

.

4) ПАРАБОЛОЙ называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

1. Пусть ‒ произвольная точка параболы.

Из определения следует, что расстояние

Обозначим расстояние – параметр параболы.

Тогда ось OYделит пополам, ,

Подставив в формулу координаты точек и, воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками,

, получим:

Откуда получим уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вправо):

Аналогично выводятся уравнения параболы в остальных трех случаях.

2.Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви влево).

– фокус

– уравнение директрисы.

3.Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вверх).

– фокус

– уравнение директрисы.

4. Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вниз).

– фокус

– уравнение директрисы.

ЛЕКЦИЯ № 16