Теорема. Признак коллинеарности векторов
Для того чтобы был коллинеарен ненулевому необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число k, для которого выполнялось бы равенство: = k× , где k– коэффициент пропорциональности.
Векторы называются компланарными, если их можно поместить в одну плоскость путем параллельного переноса.
Сложение векторов Правило треугольника
Правило параллелограмма Разность векторов =
Вопрос 2. Линейные операции над векторами. Направляющие косинусы. Положение вектора в пространстве задают направляющие Cos углов (a, b, j) вектора с осями координат: Cos a = ; Cos b = ; Cos j = ;
Пусть = ( ); = ( );
1. Сумма (разность) векторов: = ( ± ( = ( ) + ( + +( = ( ; .
2. Умножение вектора наl: l· = (l ; l ; l ).
3. Скалярное произведение векторов и его свойства. Скалярным произведением векторов называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
= · Cosa; гдеa =Ð( ); ≤ a ≤ Свойства: 1. = = – скалярный квадрат. 2. Если , то = 0; т.к. Cos = 0; 3. = ‒ коммутативность 4. l ( = (l ) = (l· – ассоциативность 5. ( ) = + · – дистрибутивность
Выведем формулу скалярного произведения через координаты:
= ( · ( = + + + + + + + + = = + + = + + –формула для нахождения скалярного произведения. Вопрос 3. Прямоугольный базис. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Прямоугольные координаты вектора (точки). Разложение вектора по базису. При взаимных перпендикулярных единичных вектора , выходящих из одной точки, образуют прямоугольный базис в пространстве. Прямые проведенные в направлении базисных векторов образуют прямоугольную декартову систему координат: ОХ – в направлении ‒ ‒ ось абсцисс; ОУ – в направлении ‒ ‒ ось ординат; ОZ – в направлении ‒ ‒ ось аппликат; ‒ орты координаты осей, т.е. ‒ орт оси ОХ и т.д. = OM – радиус ‒ вектор точки М. ; = 1.
Прямоугольными координатами вектора (точки) называются проекции этого вектора (точки) на оси ординат. = (x, y, z). = = + = + + = х + у + z = х + у + z ‒ разложение вектора по базису
Вопрос 4. Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами. По свойству длинны диагонали прямоугольного треугольника, получим: 2 = 2 = 2 + 2 + 2, т. е. 2 = x2 + y2 + z, следовательно = . Так как вектор можно свободно перемещать в пространстве, то длина произвольного вектора = . По правилу сложения вектора = ‒ , = (x2 ‒ x1; y2 ‒ y1; z2 ‒ z1) Подставив координаты в формулу длины вектора, получим формулу для нахождения расстояния между точками:
‒ формула расстояния между точками. Из формулы = cos α найдем Cos α = Или если = ( = ( ). ЛЕКЦИЯ № 9
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1364)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |