Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Вопрос 1. Векторное произведение векторов




(геометрический смысл, свойства).

Векторы , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов (рис. 2), если находится по ту сторону плоскости, содержащей векторы и , откуда кратчайший поворот от вектора к можно совершить против часовой стрелки.

В противном случае векторы образуют левую тройку векторов (рис. 1).

Векторным произведением векторов и называется вектор = × , удовлетворяющей следующим 3‒м свойствам:

1. │ │ = │ │·│ │· sina, гдеa = Ð( ; ).

2. ; ;

3. Векторы , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов.

Геометрический смысл.

Sпароаллелограмма = │ │·│ │· sina => │ │ =│ × │,

т.е. × │= Sпароаллелограмма

 

Модуль векторного произведения векторов и равен Sпараллелограмма, построенного на векторах ‒ множителях.

Свойства векторного произведения.

1. × = ( × ) не коммутативно

2. Если коллинеарен , то × = , т. к. sin 00 = 0.

3. l ( × ) = (l · ) × = × (l · ) – ассоциативность

4. ( + ) × = × + × – дистрибутивность

Вопрос 2. Выражение векторного произведения через координаты.

Пусть = ( ); = ( );

 

Разложим а и b по базисным векторам:

а= x1i + y1 j + z1k, b = x2i + y2 j + z2k.

Используя свойства векторного произведения, получаем

× = (x1i + y1 j+ z1k)× (x2i + y2 j+ z2k) =

= xxi×i + xyi×j + xz2·i×k +

+ yx2 j×i + yy2 j; j + yz2 j×k +

+ zx2 k×i + zy2 k×j + zz2 k×k. (1)

По определению векторного произведения находим

i×i = 0, i×j = k, i×k= –j,

j×i = –k, j×j = 0, j×k = i,

k×i = j,k×j = –i. k×k = 0.

Учитывая эти равенства, формулу (1) можно записать так:

× = x1y2kx1z2 jy1x2k + y1z2 i + z1x2 j z1y2i

или

× = (y1z2z1y2) i + (z1x2x1z2 )j + (x1y2y1x2) k. (2)

Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

Полученную формулу можно записать в другом более удобном для запоминания виде:

× = (3)

Обычно формулу (3) записывают еще короче:

× = (4)

‒ формула для вычисления векторного произведения.

 

Тогда,

Sпароаллелограмма = │ × │=

Sтреугольника = = ;

Пример:найти векторное произведение векторов:

 

Решение:

Вопрос 3. Смешанное произведение векторов

(геометрический смысл, свойства).

Смешанным произведением векторов ( × ) называется скалярное произведение вектора( × ) на вектор .

Геометрический смысл

Построим на векторах , параллелепипед и найдем его объем V.

Vпараллелепипеда = Sосн. · H = · = · · Cosa= .

 

= Vпараллелепипеда

Модуль смешанного произведениятрех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах ‒ множителях.

Vтетраэдра = Vпараллелепипеда




Читайте также:



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (588)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.004 сек.)