Вопрос 1. Векторное произведение векторов
(геометрический смысл, свойства). Векторы , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов (рис. 2), если находится по ту сторону плоскости, содержащей векторы и , откуда кратчайший поворот от вектора к можно совершить против часовой стрелки. В противном случае векторы образуют левую тройку векторов (рис. 1). Векторным произведением векторов и называется вектор = × , удовлетворяющей следующим 3‒м свойствам: 1. │ │ = │ │·│ │· sina, гдеa = Ð( ; ). 2. ⊥ ; ⊥ ; 3. Векторы , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов. Геометрический смысл. Sпароаллелограмма = │ │·│ │· sina => │ │ =│ × │, т.е. │ × │= Sпароаллелограмма
Модуль векторного произведения векторов и равен Sпараллелограмма, построенного на векторах ‒ множителях. Свойства векторного произведения. 1. × = ‒ ( × ) –не коммутативно 2. Если коллинеарен , то × = , т. к. sin 00 = 0. 3. l ( × ) = (l · ) × = × (l · ) – ассоциативность 4. ( + ) × = × + × – дистрибутивность Вопрос 2. Выражение векторного произведения через координаты. Пусть = ( ); = ( );
Разложим а и b по базисным векторам: а= x1i + y1 j + z1k, b = x2i + y2 j + z2k. Используя свойства векторного произведения, получаем × = (x1i + y1 j+ z1k)× (x2i + y2 j+ z2k) = = x1·x2·i×i + x1·y2·i×j + x1·z2·i×k + + y1·x2 j×i + y1·y2 j; j + y1·z2 j×k + + z1·x2 k×i + z1·y2 k×j + z1·z2 k×k. (1) По определению векторного произведения находим i×i = 0, i×j = k, i×k= –j, j×i = –k, j×j = 0, j×k = i, k×i = j,k×j = –i. k×k = 0. Учитывая эти равенства, формулу (1) можно записать так: × = x1y2k–x1z2 j–y1x2k + y1z2 i + z1x2 j –z1y2i или × = (y1z2 –z1y2) i + (z1x2 –x1z2 )j + (x1y2–y1x2) k. (2) Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами. Полученную формулу можно записать в другом более удобном для запоминания виде: × = (3) Обычно формулу (3) записывают еще короче: × = (4) ‒ формула для вычисления векторного произведения.
Тогда, Sпароаллелограмма = │ × │= Sтреугольника = = ; Пример:найти векторное произведение векторов:
Решение: Вопрос 3. Смешанное произведение векторов (геометрический смысл, свойства). Смешанным произведением векторов ( × ) называется скалярное произведение вектора( × ) на вектор . Геометрический смысл Построим на векторах , параллелепипед и найдем его объем V.
Vпараллелепипеда = Sосн. · H = · = · · Cosa= .
= Vпараллелепипеда Модуль смешанного произведениятрех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах ‒ множителях. Vтетраэдра = Vпараллелепипеда
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (662)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |