Распределение и его параметры

Распределение признака – это закономерность встречаемости его значений в исследованной выборке. Появление в результате измерения значений (как некоторой случайной, конкретной величины) подчиняется различным законам.

Предельным законом, описывающим распределение, является закон нормального распределения. Нормальным это распределение названо потому, что оно наиболее часто обнаруживалось в эмпирических исследованиях живой и неживой природы. Поэтому, как наиболее встречаемый вариант, он и был назван нормальным, т.е. присущим всем массовидным феноменам. Предельным этот закон считается потому, что все другие законы распределения в определенной мере к нему приближаются. Хотя указанный закон был открыт независимо друг от друга тремя учеными в разное время, он также называется именем наиболее известного из них немецкого математика Ф. Гаусса. В психологии Ф. Гальтон доказал, что нормальному распределению подчиняются и психологические характеристики, в частности уровень развития способностей. В современной науке принят постулат, что все свойства в генеральной совокупности имеют нормальное распределение.

Нормальное распределение характеризуется тем, что в нем редко встречаются крайние значения признака (как низкие, так и высокие), а наиболее часто наблюдаются значения, близкие к средней величине. Графически нормальное распределение представляет собой симметричную колоколообразную (или холмообразную) кривую (рисунок 1).

μ – 3 σ μ – σ Мо μ + σ μ + 3 σ

μ – 2 σ Ме μ + 2 σ

М

Рисунок 1 – Кривая нормального распределения Гаусса

Основные характеристики нормального распределения

1.Совпадение моды, медианы и среднего арифметического.

2. Правило «трех сигм», описывающее зависимость между средним арифметическим, дисперсией и данными измерения: 68,3% значений измеренного признака располагаются в пределах М ± 1σ (именно поэтому кривая на рисунке 1 имеет характерный изгиб в точках, расположенных на расстоянии в одну σ от М); 95,5% значений измерений находятся в границах М ± 2σ; 99,7% – в зоне М ± 3σ. Иначе говоря, чем сильнее конкретное значение признака отклоняется от среднего, тем ниже вероятность его появления.

Однако далеко не все эмпирические распределения подчиняются нормальному закону, что объясняется разными причинами, основными из которых выступают ограниченность обследованной выборки и специфика самих измеряемых психологических переменных. Для того чтобы оценить, каково распределение значений в конкретной исследованной выборке, используются специальные параметры.

Параметры распределения – это те числовые характеристики, по которым можно судить о среднем значении измеренного признака и о его изменчивости. Наиболее важные параметры – это математическое ожидание (среднее арифметическое), дисперсия, показатели ассиметрии и эксцесса (точнее, в конкретной исследованной выборке – это оценки параметров, но допустимо использовать и термин параметры).

Асимметрия (А) – характеристика формы распределения, показывающая вероятность большего отклонения от средней в какую-либо сторону (греч. asymmetria – несоразмерность). Иначе говоря, асимметрия – это скошенность кривой. Ассиметрия рассчитывается по формуле:

При нормальном распределении А = 0. На рисунке 2 отражен пример ассиметричного распределения.

y

0 Мо Ме М x

Рисунок 2 – Кривая левосторонней асимметрии

При положительной асимметрии (кривая скошена влево, рисунок 2) более длинная часть кривой плотности распределения значений (хвост кривой) лежит правее среднего арифметического. Это означает, что большая часть эмпирических данных имеет более низкие значения, чем это можно было бы ожидать математически (т.к. мода и медиана ниже по значению, чем средняя арифметическая М > Ме > Мо). При отрицательной, правосторонней асимметрии (кривая скошена вправо), наоборот, и, соответственно, большая часть измерений имеет более высокие, чем ожидаемые математически значения (М < Ме < Мо).

Эксцесс– параметр распределения, характеризующий порядок преимущественного появления определенных значений измеренного признака (от лат. excessus – выход, отступление, уклонение). Эксцесс рассчитывается по формуле:

Данная формула или коэффициент эксцесса измеряет пикообразность распределения. При нормальном распределении Е = 0.

На рисунке 3 изображены разные варианты эксцесса. При положительном эксцессе пик распределения около математического ожидания острый (островершинное распределение, Е_х > 0), т.е. в обследованной выборке преобладают средние или близкие к ним значения. При отрицательном эксцессе пик распределения гладкий (плосковершинное распределение, он может быть также и вогнутым, Е_х < 0), что свидетельствует о преимущественном появлении крайних значений измеренного признака.

f Ex = 0 Ex > 0

E x < 0

x

Рисунок 3 – Примеры эксцесса

Расчет параметров нормальности распределения необходим исследователю в следующих случаях принятия решений:

– о выборе методов дальнейшей статистической обработки (в случае использования параметрической статистики в формулы расчета входят параметры распределения, чаще всего М и σ);

– о степени обобщения полученных результатов (в частности, при оценке возможности перенесения выводов на другие, чем исследованная, выборки необходимо оценить распределение).