Многомерное шкалирование

Данный метод представляет собойопределенную альтернативу факторному анализу. Многомерное шкалирование также предназначено для редукции данных, выявления латентных факторов с целью их последующего объяснения. Если в факторном анализе такое сокращение достигается посредством обработки корреляционных матриц, то при многомерном шкалировании анализируется матрица сходства расстояний.

В итоге процедур каждому измеренному объекту приписываются определенные числовые значения на осях координат. Эти координаты образуют некоторое пространство (как правило, геометрическое, Эвклидово) со значительно меньшей размерностью, чем исходный массив данных. Координаты нового смоделированного пространства представляют собой те самые незаметные глазу, латентные переменные, обнаруженные в итоге математических процедур.

Если сохранить размерность пространства равной числу измеренных переменных, то можно получить точное воспроизведение исходной матрицы расстояний между объектами. Однако целью многомерного шкалирование выступает выявление нескольких важнейших факторов (которые также называются латентными переменными или вспомогательными шкалами), поэтому созданная пространственная модель, безусловно, несколько отличается от исходной. Но и в ней те объекты, которым в исходной матрице соответствуют большие меры различий, находятся далеко друг от друга, а те, которые более подобны друг другу, располагаются, соответственно, ближе.

Для оценки качества подгонки результативной модели исходной матрице сходств расстояний используется специальная мера, которая называется стресс. Чем меньше его значение, тем лучше математически смоделированная матрица расстояний репрезентирует исходную, эмпирическую структуру взаимосвязей между переменными.

Условия применения многомерного шкалирования:

– переменные могут быть измерены в порядковой шкале и не подчиняться закону нормального распределения (неметрический метод многомерного шкалирования);

– переменные могут быть представлены в шкалах интервалов или отношений (метрический метод многомерного шкалирования);

– число переменных должно быть достаточно большим.

Результаты многомерного шкалирования в основном представляются графически. К примеру, в исследовании зрительного восприятия 18 букв русского алфавита 50 взрослым респондентами при попарном представлении букв предлагалось оценить их по шкале «похожи – не похожи» (Р.М. Фрумкина, П.Ф. Андрукович, А.Ю. Терехина, 1976). Было построено 50 матриц сходств, при обработке которых методом многомерного шкалирования обнаружилось два латентных фактора, представленных на рисунке 7.

Остроугольные элементы – прямоугольные элементы

Рисунок 7 – Пространство букв русского алфавита,

полученное в результате многомерного шкалирования

В отличие от факторного анализа, методы многомерного шкалирования не так распространены в отечественной психологии, что обусловлено целым рядом причин, в том числе и отсутствием четкого теоретико-методического обоснования соответствия формальной модели реально существующей, содержательной области психической реальности.

Кластерный анализ

Данный вид анализа применяется для обработки качественных данных. Кластерный анализ объединяет различные процедуры, позволяющие сгруппировать множество объектов в классы (кластер или группа, гроздь) таким образом, что сходные объекты попадают в один класс. В итоге процедур кластеризации обнаруживаются группы подобных между собой объектов.

Суть кластерного анализа заключается в нахождении расстояния между всей совокупностью изученного множества объектов. Результаты представляются графически в виде дендрограммы. В качестве примера на рисунке 8 представлена часть дендрограммы, полученной в итоге кластер-анализа матрицы сходства, полученной на 20 респондентах в оценке 50 рисунков, посвященных охране природы (В.Ф. Петренко, А.Г. Шмелев, А.А. Нистратов, 1978). Цифры сверху обозначают шаги объединения, цифры справа – номера анализируемых рисунков.

Рисунок 8 – Пример дендрограммы

Как следует из представленной денродграммы, в первый класс вошли рисунки под номерами 6, 9, 10, 46, 7, 11, 47, 41, 49; всего в данном исследовании было выявлено четыре кластера.

Кластеры обладают следующими свойствами: плотность (скопление точек в кластере по сравнению с другими); дисперсия (степень рассеивания точек в пространстве относительно центра кластера), форма (расположение точек в пространстве, круглая или удлиненная), отделимость (степень перекрытия кластеров).

Существуют различные методы кластеризации. Поскольку они довольно эвристичны, то требуется тщательно подходить к их выбору, поскольку при разных методах, применимых к одному массиву данных, можно получить совершенно различные результаты классификации. Среди методов наиболее распространены два: иерархический агломеративный (объединительный) и итеративный метод k-средних.

Объединительный метод заключается в последовательном объединении наиболее близких объектов в один кластер. Работает он с матрицей сходства объектов. Иерархическое объединение в классы может осуществляться разными способами:

– метод одиночной связи (на первом шаге объединяются два объекта, наиболее близких между собой; на втором шаге к ним присоединяется еще один объект, наиболее сходный с одним из объектов кластера и т.п.);

– метод полной связи (объединяющий в один кластер все объекты, имеющие меру сходства вышезаданного порогового значения);

– метод «средней связи» (основан на оценке среднего арифметического мер сходства объектов кластера);

– центроидный метод (расстояние между кластерами определяется как евклидово расстояние между центрами этих кластеров, на каждом шаге объединяются два кластера, имеющие минимальное расстояние) и др.

Итеративный метод k-средних предназначен для обработки самих объектов. Он позволяет получить заранее заданное исследователем число кластеров. Благодаря этому методу все множество объектов разбивается на определенное количество кластеров, максимально различающихся между собой. Конкретный объект войдет в тот класс, расстояние до которого минимально.

Кластерный анализ по сравнению с факторным предоставляет больше возможностей для сопоставления данных с различными теоретическими гипотезами. Однако в отличие от факторного анализа он не так формализован, т.е. не существует четких правил: какой именно метод кластеризации использовать для данных определенного типа, какую меру выбирать для иерархизации, на основе какой метрики вычислять меру сходства между объектами – и других однозначных предписаний. Поэтому его использование предполагает достаточно высокую квалификацию психолога.

Регрессионный анализ

Регрессионный анализ – это количественное выражение причинной связи между зависимой и независимыми переменными. Его назначение состоит в том, чтобы по значениям следствий (независимых переменных, которые называются также предикторами) спрогнозировать причину (зависимую переменную). Иначе говоря, регрессионный анализ позволяет построить модель предсказания: к примеру, зная результаты успеваемости в школе, предсказать успеваемость в университете; на основе известных показателей вербального и невербального интеллекта спрогнозировать степень успешности в определенной деятельности и т.п.

Регрессией называется изменение функции в зависимости от изменений одного или нескольких аргументов. В самом общем виде регрессионную зависимость можно представить в виде функции: Y = f (X₁, X₂ … X_k), где Y – зависимая переменная, а X – предикторы. Если функция f является линейной (прямая зависимость между переменными), то речь идет о линейной регрессии, если нет – о нелинейной модели (логарифмической, экпоненциальной и др.). В зависимости от вида функции выделяются и различные виды регрессионного анализа.

В психологии чаще используются линейные виды регрессионного анализа. Регрессия рассчитывается по специальным уравнениям. В простейшем случае уравнение линейной регрессии включает две переменные y = bx + a. Если в уравнении используется несколько независимых переменных, регрессия называется множественной. Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид y = ∑ b_ix_i + a. В уравнениях особое значение имеют коэффициенты регрессий, показывающие, насколько в среднем величина одной переменной изменяется при изменении на единицу меры другой. При линейной связи коэффициенты регрессии, аналогично коэффициентам корреляции, при положительной связи имеют знак «+», а при отрицательной, соответственно, знак «–». Поэтому, зная значения одной переменной, можно довольно однозначно предсказать значения другой, что и является ценным для психолога.

Условия использования метода линейного регрессионного анализа:

– переменные должны быть измерены в метрических шкалах (при определенных условиях возможен анализ и дихотомических данных);

– значения переменных должны подчиняться закону нормального распределения;

– в переменных должно присутствовать одинаковое число варьирующих признаков.