Сравнение двух связанных (зависимых) выборок

 

Основные методы, которые используются для сравнения двух зависимых выбо-рок, — это критерий знаков и критерий Уилкоксона (Wilcoxon test). Диалоговое окно Критерии для двух связанных выборок представлено на рис. 12.6.

 

Критерий знаков

 

Критерий знаков позволяет сравнить два измерения переменной на одной вы-борке (например, «до» и «после») по уровню ее выраженности путем сопоставле-ния количества положительных и отрицательных разностей (сдвигов) значений. Для того чтобы продемонстрировать применение критерия, сравним результаты учащихся по второму (тест2) и четвертому (тест4) тестам. Для каждого объекта сначала определяется знак разности значений. Так, для первого объекта значение тест2 равно 7, а значение тест4 — 10. Сравнение этих значений даст отрицательный

170 Глава 12.Непараметрические критерии

 

 

знак (7 – 10 = 3 < 0). Для четвертого объекта значения переменных тест2 и тест4 составляют соответственно 9 и 6, и знак разности будет положительным (9 – 6 > 0). Подсчитывается число положительных, отрицательных и нулевых разностей, а за-тем вычисляется нормализованное z-значение и p-уровень значимости.

 

 

Рис. 12.6.Диалоговое окно Критерии для двух связанных выборок

 

После завершения шага 3 на экране должно присутствовать окно редактора дан-ных. В этом примере мы сравним результаты учащихся по второму (тест2) и чет-вертому (тест4) тестам.

 

Шаг 4A В меню Анализ выберите команду Непараметрические критерии Уста­ ревшие диалоговые окна Для двух независимых выборок, чтобы открыть диалоговое окно Критерии для двух связанных выборок, показанное на рис. 12.4.

 

Шаг 5A Для применения критерия знаков выполните следующую последова-тельность действий.

 

В В группе Критерии установите флажок Знаков и сбросьте флажок

 

Уилкоксона.

 

В Щелкните на переменной числовые ряды [тест2], чтобы выделить ее, затем щелчком по стрелке перенесите ее в правое окно. Ее имя по­ явится в области Парные переменные в строке Пара: 1 рядом с мет-кой Переменная 1.

 

В Щелкните на переменной осведомленность [тест4], чтобы выделить ее, затем щелчком по стрелке перенесите ее в правое окно. Ее имя появится в области Парные переменные в строке Пара: 1 рядом с мет-кой Переменная 2.

 

В Щелкните на кнопке OK, чтобы открыть окно вывода.

Пошаговые алгоритмы и результаты вычислений

 

Результаты работы программы показаны на рис. 12.7.

 

 

Рис. 12.7.Фрагменты окна вывода после выполнения шага5а

 

Полученные результаты говорят о том, что в 39 случаях значения переменной тест2 оказались меньшими, чем значения переменной тест4, в 57 случаях значе-ния переменной тест2 превысили значения переменной тест4, и 4 раза было уста-новлено равенство значений обеих переменных. Стандартизованное значение (Z) составляет –1,735, а уровень значимости p = 0,083. Это означает, что различия между результатами тестов тест4 и тест2 статистически недостоверны. Обратите внимание: поскольку переменные тест4 и тест2 являются метрическими, к ним предпочтительней применить t-критерий для парных выборок. Он показал бы, что средние значения тест4 и тест2 различаются с уровнем значимости p = 0,01. Таким образом, можно на практике убедиться в том, что статистические возможности t-критерия в отношении переменных значительно выше, чем возможности крите-рия знаков.

 

Критерий Уилкоксона

 

Недостатком критерия знаков является то, что он никак не учитывает величину разности двух значений. Так, для него нет разницы между результатами сравнения пар (10; 0) и (6; 5): в обоих случаях знак разности будет положительным. Однако очевидно, что абсолютное значение разности также характеризует соотношение распределений. Для того чтобы учесть это, применяется критерий Уилкоксона. Этот критерий основан на подсчете абсолютных разностей между парами значе-ний с последующим их ранжированием. Затем вычисляются средние значения рангов для положительных и отрицательных разностей (сдвигов). Уровень зна-чимости подсчитывается на основе стандартизованного значения. Корректность применения этого критерия сомнительна, если переменная имеет небольшое число возможных значений, например 3-балльная шкала. В этом случае следует восполь-

172 Глава 12.Непараметрические критерии

 

 

зоваться Точными критериями. Основное диалоговое окно критерия Уилкоксона то же, что и для критерия знаков (см. рис. 12.6).

 

После завершения шага 3 на экране должно присутствовать окно редактора дан-ных. В этом примере мы, как и в предыдущем, сравним результаты учащихся по второму (тест2) и четвертому (тест4) тестам. Однако на этот раз вместо критерия знаков воспользуемся критерием Уилкоксона.

 

Шаг 4Б В меню Анализ выберите команду Непараметрические критерии Уста­ ревшие диалоговые окна Для двух независимых выборок, чтобы открыть диалоговое окно Критерии для двух связанных выборок, показанное на рис. 12.6. Если вы уже успели поработать с этим окном, щелкните на кнопке Сброс.

 

Шаг 5Б Для применения критерия Уилкоксона выполните следующую последо-вательность действий.

 

5 Щелкните на переменной числовые ряды [тест2], чтобы выделить ее, затем щелчком по стрелке перенесите ее в правое окно. Ее имя по­ явится в области Парные переменные в строке Пара: 1 рядом с мет-кой Переменная 1.

 

6 Щелкните на переменной осведомленность [тест4], чтобы выделить ее, затем щелчком по стрелке перенесите ее в правое окно. Ее имя появится в области Парные переменные в строке Пара: 1 рядом с мет-кой Переменная 2.

 

7 Щелкните на кнопке OK, чтобы открыть окно вывода.

 

Обратите внимание, что мы не устанавливали флажок Уилкоксона, поскольку он установлен по умолчанию. Результаты работы программы показаны на рис. 12.8.

 

Рис. 12.8.Фрагменты окна вывода после выполнения шага5б

Пошаговые алгоритмы и результаты вычислений

 

Результаты применения критерия Уилкоксона и критерия знаков очень похожи. Частота каждого из трех исходов N осталась неизменной. Информация о каждом из исходов (кроме равенства) теперь включает также среднее и суммарное значе-ния для соответствующих рангов. Визуальный анализ исходных данных говорит

 

и том, что значения теста 4 (осведомленность) в целом несколько превышают зна-чения теста 2 (числовые ряды). Это демонстрирует и величина Z = –2,493, которая значительно превосходит по модулю соответствующее значение, полученное ранее для критерия знаков. Уровень значимости p = 0,013, что говорит о статистической достоверности различий. Таким образом, мы убеждаемся в том, что критерий Уил-коксона является более чувствительным к различиям (более мощным), чем крите-рий знаков. Тем не менее он оказывается несколько хуже t-критерия, обеспечиваю-щего уровень значимости 0,01, что подтверждает предпочтительность последнего для анализа метрических данных.

 

Критерий серий

 

Как следует из названия, критерий серий применяется для анализа последователь-ности объектов (явлений, событий), упорядоченных во времени или в порядке воз-растания (убывания) значений измеренного признака. Кроме того, критерий тре-бует представления последовательности в виде бинарной переменной, то есть как чередования событий 0 и 1. Математическая идея критерия основана на подсчете числа серий в упорядоченной последовательности событий двух типов, например 0

 

и 1. Серия — это последовательность однотипных событий, непосредственно перед

 

и после которой произошли события другого типа. Гипотеза о случайном распре-делении событий 1 среди событий 0 может быть отклонена, если количество серий либо слишком мало (однотипные события имеют тенденцию к группированию), либо слишком велико (события 0 и 1 имеют тенденцию к чередованию).

 

Основное диалоговое окно критерия серий представлено на рис. 12.9.

 

Рис. 12.9.Диалоговое окно Критерий серий

174 Глава 12.Непараметрические критерии

 

 

После завершения шага 3 на экране должно присутствовать окно редактора данных. Рассмотрим применение критерия серий на примере проверки гипотезы о неслучай-ном чередовании юношей и девушек (переменная пол) в списке испытуемых в файле ex01.sav. Для задания точки раздела значений переменной на две категории предна-значены флажок и поле Задаваемое. В данном случае в одну группу надо включить значения переменной пол, равные 1, а в другую группу — значения, равные 2.

 

Шаг 4A В меню Анализ выберите команду Непараметрические критерии Уста­ ревшие диалоговые окна Серии, чтобы открыть диалоговое окно Крите-рий серий, показанное на рис. 12.9.

 

Шаг 5B Для применения критерия выполните следующую последовательность действий.

 

в Щелкните сначала на переменной пол, чтобы выделить ее, а затем — на кнопке со стрелкой, чтобы переместить переменную в поле Список проверяемых переменных.

 

в В группе Пороговое значение установите флажок Задаваемое, введите в расположенное рядом поле значение 2 и сбросьте флажок Медиана.

 

в Щелкните на кнопке OK, чтобы открыть окно вывода.

 

Результаты работы программы показаны на рис. 12.10.

 

 

Рис. 12.10.Фрагмент окна вывода после выполнения шага5в

 

Количество серий равно 49. В результаты включено значение точки деления, вве-денное в поле Задаваемое. Величина Z и соответствующая значимость зависят от числа серий. Число серий преобразуется к z-значению, для которого и определяется p-уровень. Большое значение p-уровня (0,929) свидетельствует о том, что чередова-ние юношей и девушек в файле ex01.sav является случайным. Статистически значи-мый результат свидетельствовал бы о том, что чередование юношей и девушек в фай-ле является неслучайным. Если при этом число серий было бы слишком велико, это свидетельствовало бы о том, что после юноши с высокой долей вероятности следует девушка (и наоборот). При малом значении числа серий можно было бы сделать вывод о том, что более вероятно группирование испытуемых в списке по половому признаку (после юноши чаще следует юноша, а после девушки — девушка).

 

Биномиальный критерий

 

Назначение биномиального критерия — определение вероятности того, что наблю-даемое распределение не отличается от ожидаемого (заданного) биномиального

Пошаговые алгоритмы и результаты вычислений

 

распределения. Свойством биномиального распределения является заранее задан-ное соотношение вероятностей двух взаимоисключающих событий (обычно — рав-новероятное). Например, при многократном подбрасывании «правильной» монеты вероятности выпадения «орлов» и «решек» подчиняется биномиальному распре-делению. В качестве примера мы снова исследуем распределение юношей и де-вушек в файле ex01.sav. Зная заранее, что в файле собраны данные о 61 ученице

 

в 39 учениках, мы сможем проверить, отличается ли статистически достоверно это распределение (наблюдаемое) от ожидаемого (теоретического) равновероятного соотношения. Основное диалоговое окно биномиального критерия представлено на рис. 12.11.

 

Рис. 12.11.Диалоговое окно биномиального критерия

 

После завершения шага 3 на экране должно присутствовать окно редактора дан-ных. В этом примере мы попытаемся выяснить, является ли распределение муж-чин и женщин в выборке биномиальным.

 

Шаг 4Г В меню Анализ выберите команду Непараметрические критерии Уста­ ревшие­ диалоговые окна Биноминальный, чтобы открыть диалоговое ок­ но Биномиальный критерий, показанное на рис. 12.11.

 

Шаг 5Г Для применения биномиального критерия выполните следующую по-следовательность действий.

 

В Щелкните сначала на переменной пол, чтобы выделить ее, а затем — на кнопке со стрелкой, чтобы переместить переменную в Список про-веряемых переменных. Обратите внимание, что ожидаемое соотноше-ние, заданное по умолчанию (Проверяемая доля), равно 0,5.

 

В Щелкните на кнопке OK, чтобы открыть окно вывода.

176 Глава 12.Непараметрические критерии

 

 

Результаты работы программы показаны на рис. 12.12.

 

Рис. 12.12.Фрагмент окна вывода после выполнения шага5г

 

Ожидаемая пропорция для биномиального теста равна 0,5 для обеих групп. На-блюдаемая пропорция для каждой из групп определяется как отношение размера группы (N ) к размеру выборки (100). Как можно видеть, наблюдаемые пропорции значительно отличаются от 0,5 и составляют 0,39 для мужчин и 0,61 для женщин. Уровень значимости, равный 0,035, свидетельствует о статистически достоверном отличии исследуемого распределения от биномиального (равновероятного).

 

При желании можно проверять отличие наблюдаемого распределения от любого другого биномиального распределения, задавая необходимые ожидаемые пропор-ции в поле Проверяемая доля.